将数据拟合到方格（通过多个参数离散点）

Question

我在二维方格上测量了点。

。

如何将数据拟合到方格中？我想曲线拟合或最小二乘近似等一些方法会起作用，但我找不到任何针对同一问题的文献。

• 晶格有离散点
• 晶格是用多个参数建模的：平移（

  x0

  和

  y0

  ）、旋转（

  θ

  ）、晶格间距（

  d

  ），并且不能表示为

  y=f(x; a,b,...)

  形式。

Answer 1

TLDR；不可能（没有细格子的惩罚）

所以我有同样的问题，我研究了为什么这是不可能的。我证明，对于每个

n

有理点，

x1, ... , xn

都存在一些有理

q, b

，这样对于每个

i

都存在一个整数

z

，使得

xi = z * q + b

。

归纳证明：

基本情况：

我们从

n=2

开始，为此，选择

q = x1 - x0

和

b = x0

假设：

让存在

x1, ..., xn+1

有理点。那么对于第一个

n

点，存在一些有理数

q, b

，使得对于每个

i<=n

都存在一个整数

z

，使得

xi = z * q + b

归纳步骤：

从假设中获取

q, b

。我们找到一个自然数 beta，使得

q' := q / s, b

满足

i<=n+1

的假设。

确实，对于每个自然数和

i<=n

，当

xi = z * q + b

时，也

xi = z * s * q' + b

现在我们必须选择一个自然的

s

，使得

x := xn+1 = z * q' + b

代表整数

z

。

我会推导出

s

，这也将证明这样的

s

存在。定义

beta

到

x = beta * q + b

。因为除了

beta

之外的每个数字都是有理数，所以

beta

也是有理数：

beta = u / v

定义

s := v

那么它成立：

x = beta * q + b = u / v * q + b = u / v * s * q' + b = u * q' + b

其中

u

是整数。

经验证明

使用证明中的公式，我制作了一个Python程序，可以为任意分数找到完美的格子：

from fractions import Fraction
import random

def random_fract():
    return Fraction(
        random.randint(2, 1_000),
        random.randint(2, 100)
    )

def test_one_lattice():
    x_vals = [random_fract() for i in range(1_000)]
    # remove duplicates -- the algorithm doesn't work for them
    x_vals = list(set(x_vals))
    q = x_vals[1] - x_vals[0]

    b = x_vals[0]
    for fract in x_vals[2:]:
        q /= ((fract-b) / q).denominator
    for x in x_vals:
        z = (x - b) / q
        assert z * q + b == x
        assert z % 1 == 0

if __name__ == "__main__":
    for _ in range(50):
        test_one_lattice()

请记住，这也适用于空间的多个维度（它们是独立的）以及晶格的多个维度（只需将其他向量设置为零）