计算曼德尔布罗集合迭代时遇到困难

Question

所以我读了这篇文章：http://www.wikihow.com/Plot-the-Mandelbrot-Set-By-Hand 但我卡在了第 7 步。我正在 javascript canvas 中绘制集合。

我所需要的基本上就是我猜测的C值。

for (var y = 0; y < ImageHeight; y++) {
    for (var x = 0; x < ImageWidth; x++) {

        // Pixel-Position for ImageObject
        var xy = (x + y * image.width) * 4;

        // Convert Image-Dimension to a radius of 2
        var xi = ((x / ImageWidth) * 4) - 2;
        var yi = ((y / ImageHeight) * 4) - 2;

        for (var n = 0; n < MaxIterations; n++) {

            // Complex number stuff..?
            z = (xi*xi) + (yi*yi) + c;
            c = 0; // Somethig with z ..?

            if (z < 4) {

                image.data[xy] = inner_color[0];
                image.data[xy+1] = inner_color[1];
                image.data[xy+2] = inner_color[2];
                image.data[xy+3] = Math.round(n * cdiff);

            } else {

                image.data[xy] = outer_color[0];
                image.data[xy+1] = outer_color[1];
                image.data[xy+2] = outer_color[2];
                image.data[xy+3] = Math.round(n * cdiff);

                break;
            }
        }
    }
}

我还读了很多关于虚数之类的东西，但我不太明白如何用它们进行计算。它们对我来说似乎毫无用处，因为无论如何你都必须将它们转换回实数才能在 javascript 中进行逻辑运算。

它看起来像这样：[已删除]
如果删除 url 末尾的 2，您会看到另一个版本，我刚刚重写了一些 c++ 代码片段。 但缩放有点奇怪，这就是为什么我想自己写这一切..

我理解曼德尔布罗特集创建的基本概念，但正如我所说，复杂的部分让我感到困扰。有没有更简单的解释？

Answer 1

你必须先了解这一点：

z = z^2 + c

让我们分解一下。

z

和

c

都是复数（最近的一个问题教会我强调这一点，它们有小数位，并且可以看起来像这样：

c=-0.70176-0.3842i

）。复数可以有一个“非实数”部分，正确的术语是“虚数”部分，你可以用以下形式写出一个“单个”复数： (a + bi) 等同于：

(a + b*i)

如果 b 是 0，那么你就有一个

a + 0i

，它只是

a

，所以没有

虚数

部分，你就有一个实数。您的链接没有提到复数最重要的属性，尤其是其虚数部分的属性

i == sqrt(-1)

。在实数领域，不存在负数的平方根，这就是复数的用武之地，它可以让你得到 -1 的平方根。让我们将 i 提高到 2 次方：

i^2 == -1

，神奇！虚部 (

i

) 必须由您处理（特殊的平方），或者您使用的编程语言将提供一个 Complex 类型来为您处理它。

现在回到扩展

z^2

：

z == (a+bi)

，因此

z^2 == (a+bi)^2

，所以

z^2 == (a^2 + bi^2 + 2*a*bi)

。我们也来分解一下：

a^2

=>这个很简单，是一个实数

• bi^2

  => 棘手的部分。这真的是
b^2*i^2
• 。我们在这里得到了一个

  i^2

  ，即

  -1

  ，这使得它成为

  b^2*-1

  或：

  -b^2

  。所以这也是一个

  实数

  。2*a*b*i => 这将是
虚部
• 部分 结果：z^2 = (a^2-b^2+2*a*bi)

示例（有点过于详细。您可以将其视为循环中的第一次迭代）：

z = (5 + 3i)
z^2 = (5 + 3i)^2
    = (5^2 + 3^2*i^2 + 2*5*3i)
    = (25 + 9i^2 + 30i)
    = (25 + 9*-1 + 30i)
    = (25 - 9 + 30i)
    = (16 + 30i)

现在，如果您了解复数的迭代和乘法，请了解一些关于 Mandelbrot 的内容（以及关于

c

值）：

---

当您想要创建 Mandelbrot 集时，您实际上是在复杂平面上寻找点，如果使用上面讨论的迭代进行迭代（例如 50 次），则该点永远不会达到无穷大。 Mandelbrot 集是通常看到的“Mandelbrot”图片中的

黑色

部分，而不是闪亮的彩色部分。

通常的工作流程是这样的：

在复平面上选择一个点，例如 (1.01312 + 0.8324i) => 这将是

c

!

的值
• 按照前面所述迭代多次 =>

  z = z^2 + c

  。对于初学者来说，这样做 50 次。这将为您提供一个复数结果。
• 如果所得复数（实数或虚数）的任何部分等于或大于 2，那么我们假设该点将趋于无穷大，并且我们认为该点

  不属于

  曼德尔布罗特集的一部分*。当您需要为点着色时就会出现这种情况（这是曼德尔布罗集的彩色部分）。如果复数的两个部分都小于 2，我们假设该点永远不会达到无穷大（即使迭代无数次），并将该点视为 Mandelbrot 集的一部分，并且其颜色将为黑色。
• 重复（选择下一个点，将其值放入c，将零放入
z
• 并计算）

  *实际上，验证一个点是否是集合的一部分有点复杂，但这对于原型来说效果很好