整数除以0的余数

Question

考虑整数除法

a = bq + r

其中a、b、q、r分别是：被除数、除数、商和余数。特别是当 b = 0 时，不存在唯一的 q 满足给定 a 的方程，因此在这种情况下商 q 应该是未定义的。

但是，这种情况下确实存在唯一的r，即r = a。在商和余数总是一起定义的前提下，只要q未定义，r就没有定义，但在编程中，我们经常希望使用余数运算

%

，而不管除法

/

。我实际上遇到了我想要的情况

if b == 0 then a else a % b end

。

任何编程语言中是否有一个运算符与

%

相同，但当除数为 0 时返回被除数而不是零除错误？

大多数（或所有）编程语言是否有任何原因返回

% 0

的零除错误？

Answer 1

从数学上来说，余数在 0 和 b-1 之间，其中 b 是除数。 因此，当 b = 0 时，r 未定义，因为它必须 >= 0。

Answer 2

有没有一种编程语言可以返还红利？没有把握。我从来没有遇到过。

大多数人不返还股息有什么原因吗？ 是的。模数是 CS 中的常见运算，因为它是 CPU 上整数除法的副产品。大多数（如果不是全部）汇编语言都有模数运算，并且该运算使用与除法运算完全相同的硬件。因此，如果你不能在硬件中除以零，那么你就不能在硬件中做模零。

这是否意味着您不能拥有支持此功能的语言？并非如此，但您必须将 if 语句添加到通常是单个指令的操作中。这可能会导致相当严重的性能损失，所以很少（如果有的话）这样做。

Answer 3

我知道定义整数除法余数的三个来源，使其与您的观察结果一致：

• Donald Knuth 在 计算机编程艺术，第 1 卷 (1969)（§1.2.4，第 38 页）中将 x mod 0 定义为等于 x。 对于非零除数，它被定义为地板除法的余数： a mod b := a − b × ⌊a ÷ b⌋.

• APLK0 手册（也是 1969 年）（第 57 页）定义了一个名为“余数”的运算

  |

  ，定义为 Raymond Boute 的论文 所称的非零除数的“欧几里得除法”的余数，而对于零除数，它返回被除数，但前提是后者非负；否则，这是一个域错误。

  “残差”的基本数学定义似乎是

  b|a

  := inf { x ≥ 0 : ∃ c ∈ ℤ:

  a

  − x =

  b

  c }

  对于负

  a

  和零

  b

  已经是 inf ∅ = ∞，我认为无法表示。

• 在 RISC-V 指令集中，“M”扩展（RISC-V 指令集手册，卷 I，版本 20191213，§7.2，第 45 页，表 7.1）定义了返回被除数的余数指令除以零的情况；相应的除法指令返回所有位都设置为 1 的值（有符号除法为 −1，无符号除法为最大可能字值）。

无符号长除法算法的简单实现也将符合 RISC-V 对除法和余数的定义，假设余数可以在目标变量（和所有中间变量）中表示而不会溢出。

为什么以这种方式定义余数不更常见？ 我想说这更多地与实际考虑有关，而不是与数学考虑有关。 余数通常被认为是除法的副产品，而不是“环同态本身”；这两个操作通常也使用计算两个结果的通用指令来实现。 由于除以零是未定义的，因此许多体系结构选择它来捕获（触发异常）这种情况，包括流行的 x86。 这意味着余数操作也会陷入困境。 由于多种可能的原因，更高级别的语言很少愿意覆盖此选择：

根本不考虑这个问题，因为合法地出现余数为零的情况很少见，并且乍一看引发异常似乎是一个合理的选择；

• 不愿意通过额外的除数检查来增加实现的负担；
• 不愿意偏离类似的编程语言。