我用1s的固定时间间隔用特殊相机测量物体的x，y坐标（以cm为单位）。我有一个numpy数组中的数据：
a = np.array([ [ 0. , 0. ],[ 0.3 , 0. ],[ 1.25, -0.1 ],[ 2.1 , -0.9 ],[ 2.85, -2.3 ],[ 3.8 , -3.95],[ 5. , -5.75],[ 6.4 , -7.8 ],[ 8.05, -9.9 ],[ 9.9 , -11.6 ],[ 12.05, -12.85],[ 14.25, -13.7 ],[ 16.5 , -13.8 ],[ 19.25, -13.35],[ 21.3 , -12.2 ],[ 22.8 , -10.5 ],[ 23.55, -8.15],[ 22.95, -6.1 ],[ 21.35, -3.95],[ 19.1 , -1.9 ]])
曲线看起来像这样：
plt.scatter(a[:,0], a[:,1])
题：
如何计算每个点的切向和径向加速度矢量？我找到了一些可能相关的公式：
我可以很容易地用vx计算vy和np.diff(a, axis=0)投影，但我是一个numpy / python noob，它继续我的头脑。如果我可以计算每个点的曲率，我的问题也将得到解决。有人可以帮忙吗？
编辑：我把这个答案放在一起几个小时，所以我错过了你最新的编辑，表明你只需要曲率。希望这个答案无论如何都会有所帮助。
除了做一些曲线拟合，我们的近似导数的方法是通过finite differences。值得庆幸的是，numpy有一个gradient方法，为我们做这些差异计算，负责平均每个内点的前一个和下一个斜率的平均细节，并留下每个端点，等等。
import numpy as np
a = np.array([ [ 0. , 0. ],[ 0.3 , 0. ],[ 1.25, -0.1 ],
[ 2.1 , -0.9 ],[ 2.85, -2.3 ],[ 3.8 , -3.95],
[ 5. , -5.75],[ 6.4 , -7.8 ],[ 8.05, -9.9 ],
[ 9.9 , -11.6 ],[ 12.05, -12.85],[ 14.25, -13.7 ],
[ 16.5 , -13.8 ],[ 19.25, -13.35],[ 21.3 , -12.2 ],
[ 22.8 , -10.5 ],[ 23.55, -8.15],[ 22.95, -6.1 ],
[ 21.35, -3.95],[ 19.1 , -1.9 ]])
现在，我们计算每个变量的衍生物并将它们组合在一起（出于某种原因，如果我们只调用np.gradient(a)，我们会得到一个数组列表......不确定在我的头顶发生了什么，但我会现在就解决它）：
dx_dt = np.gradient(a[:, 0])
dy_dt = np.gradient(a[:, 1])
velocity = np.array([ [dx_dt[i], dy_dt[i]] for i in range(dx_dt.size)])
这为velocity提供了以下向量：
array([[ 0.3 , 0. ],
[ 0.625, -0.05 ],
[ 0.9 , -0.45 ],
[ 0.8 , -1.1 ],
[ 0.85 , -1.525],
[ 1.075, -1.725],
[ 1.3 , -1.925],
[ 1.525, -2.075],
[ 1.75 , -1.9 ],
[ 2. , -1.475],
[ 2.175, -1.05 ],
[ 2.225, -0.475],
[ 2.5 , 0.175],
[ 2.4 , 0.8 ],
[ 1.775, 1.425],
[ 1.125, 2.025],
[ 0.075, 2.2 ],
[-1.1 , 2.1 ],
[-1.925, 2.1 ],
[-2.25 , 2.05 ]])
当看到a的散点图时，这是有道理的。
现在，为了速度，我们采用速度矢量的长度。但是，有一点我们在这里没有真正记住：一切都是t的功能。因此，ds/dt实际上是t的标量函数（与t的向量函数相对），就像dx/dt和dy/dt一样。因此，我们将ds_dt表示为在每个第二时间间隔的numpy值数组，每个值对应于每秒的速度近似值：
ds_dt = np.sqrt(dx_dt * dx_dt + dy_dt * dy_dt)
这会产生以下数组：
array([ 0.3 , 0.62699681, 1.00623059, 1.36014705, 1.74588803,
2.03254766, 2.32284847, 2.57512136, 2.58311827, 2.48508048,
2.41518633, 2.27513736, 2.50611752, 2.52982213, 2.27623593,
2.31651678, 2.20127804, 2.37065392, 2.8487936 , 3.04384625])
当你看到a的散点图上的点之间的间隙时，这也是有道理的：物体加速，在拐角处减速一点，然后再加速回升。
现在，为了找到单位切向量，我们需要对ds_dt进行小的变换，使其大小与velocity的大小相同（这有效地允许我们将向量值函数velocity除以（表示）标量函数ds_dt）：
tangent = np.array([1/ds_dt] * 2).transpose() * velocity
这产生以下numpy数组：
array([[ 1. , 0. ],
[ 0.99681528, -0.07974522],
[ 0.89442719, -0.4472136 ],
[ 0.5881717 , -0.80873608],
[ 0.48685826, -0.87348099],
[ 0.52889289, -0.84868859],
[ 0.55965769, -0.82872388],
[ 0.5922051 , -0.80578727],
[ 0.67747575, -0.73554511],
[ 0.80480291, -0.59354215],
[ 0.90055164, -0.43474907],
[ 0.97796293, -0.2087786 ],
[ 0.99755897, 0.06982913],
[ 0.9486833 , 0.31622777],
[ 0.77979614, 0.62603352],
[ 0.48564293, 0.87415728],
[ 0.03407112, 0.99941941],
[-0.46400699, 0.88583154],
[-0.67572463, 0.73715414],
[-0.73919634, 0.67349 ]])
注意两件事：1。在t的每个值，tangent指向与velocity相同的方向，并且2.在t的每个值，tangent是单位向量。确实：
在[12]中：
In [12]: np.sqrt(tangent[:,0] * tangent[:,0] + tangent[:,1] * tangent[:,1])
Out[12]:
array([ 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.,
1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.])
现在，由于我们采用切向量的导数并除以其长度来得到单位法向量，我们做同样的技巧（为方便起见，隔离了tangent的组件）：
tangent_x = tangent[:, 0]
tangent_y = tangent[:, 1]
deriv_tangent_x = np.gradient(tangent_x)
deriv_tangent_y = np.gradient(tangent_y)
dT_dt = np.array([ [deriv_tangent_x[i], deriv_tangent_y[i]] for i in range(deriv_tangent_x.size)])
length_dT_dt = np.sqrt(deriv_tangent_x * deriv_tangent_x + deriv_tangent_y * deriv_tangent_y)
normal = np.array([1/length_dT_dt] * 2).transpose() * dT_dt
这为normal提供了以下向量：
array([[-0.03990439, -0.9992035 ],
[-0.22975292, -0.97324899],
[-0.48897562, -0.87229745],
[-0.69107645, -0.72278167],
[-0.8292422 , -0.55888941],
[ 0.85188045, 0.52373629],
[ 0.8278434 , 0.56095927],
[ 0.78434982, 0.62031876],
[ 0.70769355, 0.70651953],
[ 0.59568265, 0.80321988],
[ 0.41039706, 0.91190693],
[ 0.18879684, 0.98201617],
[-0.05568352, 0.99844847],
[-0.36457012, 0.93117594],
[-0.63863584, 0.76950911],
[-0.89417603, 0.44771557],
[-0.99992445, 0.0122923 ],
[-0.93801622, -0.34659137],
[-0.79170904, -0.61089835],
[-0.70603568, -0.70817626]])
请注意，法向量表示曲线转向的方向。当与a的散点图一起查看时，上面的矢量是有意义的。特别是，在第5点之后，我们从向下转向转向，并且在第12点之后我们开始向左转（相对于x轴）。
最后，为了获得加速度的切向和正常分量，我们需要s，x和y的t的二阶导数，然后我们可以得到曲率和其余的组件（请记住它们都是t的标量函数）：
d2s_dt2 = np.gradient(ds_dt)
d2x_dt2 = np.gradient(dx_dt)
d2y_dt2 = np.gradient(dy_dt)
curvature = np.abs(d2x_dt2 * dy_dt - dx_dt * d2y_dt2) / (dx_dt * dx_dt + dy_dt * dy_dt)**1.5
t_component = np.array([d2s_dt2] * 2).transpose()
n_component = np.array([curvature * ds_dt * ds_dt] * 2).transpose()
acceleration = t_component * tangent + n_component * normal