关于布尔表达式的德摩根定律

Question

我收到了一道测试题：

假设

p

、

q

和

r

是布尔变量。考虑以下表达式：

!(p && !q || r)

下列哪个表达式与给定的表达式等价？

A. (p && r) || (!q && r)
B. (!p && !q) || (!p && r)
C. (!p || q ) && !r
D. (!p || q && !r)
E. (!p || q) || r

我的答案是D，但正确答案是C。为什么？这些运算符的关联性如何发挥作用？

Answer 1

布尔代数使用以下运算符优先级：NOT、AND、OR

所以原来的表达式可以改写为：

!((p && !q) || r)
  ^--     ^-- new

不改变含义。要在求反后保留该运算顺序：

!(p && !q) && !r
(!p || q) && !r

这是你的 C) 答案

Answer 2

请参阅德摩根定律，并注意它仅在

(P && Q)

和

(P || Q)

上直接定义。

二元运算符为 左结合，优先级为：

(), !, &&, ||

。

因此：

!(p && !q || r)      // start
!((p && !q) || r)    // explicitly grouping by precedence
(!(p && !q) && !r)   // by DM
(!p || q) && !r      // by DM

这到达了

C

，但我们无法做到

D

，因为这需要分配

&&

或调整括号以更改优先级。

Answer 3

我将使用 PyEDA

来回答

>>> from pyeda.inter import *
>>> f = Not(Or(And('p', '-q'), 'r'))
>>> ga = Or(And('p', 'r'), And('-q', 'r'))
>>> gb = Or(And('-p', '-q'), And('-p', 'r'))
>>> gc = And(Or('-p', 'q'), '-r')
>>> gd = Or('-p', And('q', '-r'))
>>> ge = Or(Or('-p', 'q'), 'r')

>>> for g in [ga, gb, gc, gd, ge]:
...     print(f.equivalent(g))

False
False
True
False
False

>>> expr2truthtable(f)
inputs: r q p
000 1
001 0
010 1
011 1
100 0
101 0
110 0
111 0

>>> expr2truthtable(gc)
inputs: r q p
000 1
001 0
010 1
011 1
100 0
101 0
110 0
111 0