通过点 Q 并与 2 个圆相切的圆弧是否存在闭式解？

Question

要为 CAD 系统编写一个小型扩展。至此，系统可以创建与两个圆相切的指定半径的圆弧。给出了圆的半径 r1 和 r2 以及圆心之间的距离 D。您可以在网络上找到各种解决方案。 现在与圆相切的圆弧应该穿过点 Q（当前鼠标指针）。应计算圆弧半径r和接触点P1、P2。

到目前为止，我还没有找到一个封闭形式的解决方案，但只能通过迭代 r 来解决问题 - 就 CAD 系统而言，这不是最好的解决方案，因为它有时非常慢而且不那么精确。有人可以帮忙吗？

Answer 1

为了简单起见，如果左圆中心是

(0,0)

，那么我们可以写出三个未知数的三个二次方程组

mx, my, R

(mx-qx)^2+(my-qy)^2=R^2 
mx^2+my^2=(R-r1)^2
(D-mx)^2+my^2=(R-r2)^2 

你可以尝试用手或一些数学包（如Maple、Mathematica）来解决这个系统，我认为公式会很长。

这样的系统有 6 个（我认为）解决方案（有些可能是想象的） - 想要一个，在你的圆之间有一个外切线的小圆，有一个外切线和一个内切线的大圆等等，所以你必须分开想要的解决方案（

my

的符号不同于

qy

等）