numpy 特征值正确，但特征向量错误

Question

我的代码是

print numpy.linalg.eig([[1, 2, 3], [5, 4, 9], [63, 7, 5]])

输出为

(数组([ 21.61455381, -9.76720959, -1.84734422]), 数组([[-0.17186028, -0.14352001, 0.03651047], [-0.48646994，-0.50447076，-0.8471429]， [-0.85662772, 0.8514172, 0.53010931]]))

我正在使用在线特征向量计算器来验证http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/engl_eigenwert2.htm 给出以下答案：

实特征值：{ -9.767209588804548 ; -1.8473442163236111; 21.61455380512816 }

特征向量：

对于特征值 -9.767209588804548： [ -0.1685660264358372 ; -0.5925071319066865; 1]

对于特征值 -1.8473442163236111： [ 0.06887346700751434 ; -1.5980532339710003; 1]

对于特征值 21.61455380512816： [0.20062423644695662; 0.5678895584242702; 1]

这些值显然不匹配。我哪里错了？

Answer 1

实际上特征向量是正确的，但表述有些令人困惑。如果

eig

的输出是

(数组([1, 2, 3]), 数组([[1, 2, 3], [4, 6, -5], [1, -3, 0]]))

这并不是说特征向量是 [1, 2, 3]、[4, 6, -5] 和 [1, -3, 0]。相反，这些是矩阵中的行，其列是特征向量：

[1  2  3]
[4  6 -5]
[1 -3  0]

因此，在这个虚构的示例中，特征向量将为 [1, 4, 1]、[2, 6, -3] 和 [3, -5, 0]，对应于特征值 1、2 和 3，分别。请注意，这些数字是我编造的，因此它们对于任何矩阵来说可能在数学上都没有意义。

Answer 2

它们确实匹配（有点......）。

这些特征向量确实彼此相同，但是在线计算器中的特征向量没有标准化（尽管为了方便起见，它们可能应该标准化）。矩阵的特征向量可以按任何标量（数字）缩放，并且仍然是特征向量，因此这不是不正确的，但是约定通常是保持它们标准化，因为这对于其他操作更方便。使用 MATLAB（独立来源）进行快速检查表明 的特征值与 numpy 返回的特征值完全匹配。

您会注意到 numpy 向量满足

norm(eigenvector)=1

的属性。如果您要对在线计算器中的向量进行归一化，那么

eigenvector <- eigenvector/norm(eigenvector)

您会看到它们匹配。

Answer 3

#Eigen values and Eigne Vectors

#To find out eigen values numpy is used

#Numpy gives the normalized eigen vectors

#In order to find exact eigen vectors

#Sympy is used

import numpy as np

from numpy.linalg import eig

from sympy import Matrix
#Using Numpy

a = np.array([[-7,-2,10],[-3,2,3],[-6,-2,9]])
w,v=eig(a)
print('Eigen values:', w)
print('Eigen vectors', v)

#Using Sympy
m = Matrix(a)
print(m.eigenvects())

#Result 
#Using Numpy
# Eigen values: [-1.  2.  3.]
# Eigen vectors 

#[[ 8.01783726e-01 -6.66666667e-01  7.07106781e-01]
#  [ 2.67261242e-01 -3.33333333e-01 -1.10591254e-15]
#  [ 5.34522484e-01 -6.66666667e-01  7.07106781e-01]]

#Using Sympy
# [(-1, 1, [Matrix([[3/2],[1/2],[  1]])]), 
#  (2, 1, [Matrix([[  1],[1/2],[  1]])]), 
#  (3, 1, [Matrix([[1],[0],[1]])])]
    
#The second and third vectors are divided by 2
#To get eigen vectors multiply it by 2