几何级数：根据总和以及第一个和最后一个元素计算商和元素数量

Question

如果已知序列的起始值和最终值，例如使用

numpy.logspace

和

numpy.geomspace

，则可以轻松地在给定的基数和元素数量上创建对数刻度（几何级数）上均匀间隔的数字。现在假设我想以相反的方式定义几何级数，即基于所得几何级数的属性。如果我知道级数的总和以及级数的第一个和最后一个元素，我可以计算商和元素数量吗？

例如，假设级数的第一个和最后一个元素是

a_0

和

a_n

，级数的总和是

s_n

。我从反复试验中知道它适用于

n=9

和

r≈1.404

，但是如何计算这些值？

Answer 1

我们必须重建几何级数，即获得

a, q, m

（这里

^

意味着提升到权力）：

a, a * q, a * q^2, ..., a * q^(m - 1)

如果我们知道

first, last, total

:

first = a                       # first item
last  = a * q^(m - 1)           # last item
total = a * (q^m - 1) / (q - 1) # sum

解这些方程我们可以发现

a = first
q = (total - first) / (total - last)
m = log(last / a) / log(q)

如果您想获得数量的物品

n

，请注意

n == m + 1

代码：

import math

...

def Solve(first, last, total):
    a = first
    q = (total - first) / (total - last)
    n = math.log(last / a) / math.log(q) + 1
    
    return (a, q, n);

小提琴

如果您输入数据（

1

、

15

、

50

），您就会得到解决方案

a = 1 
q = 1.4 
n = 9.04836151801382 # not integer

因为

n

不是整数，您可能想要调整；当

last == 15

可以变化时，让

total

准确。在这种情况下

q = (last / first) ^ (1 / (n - 1))

和

total = first * (q ^ n - 1) / (q - 1)

a = 1
q = 1.402850552006674
n = 9

total = 49.752 # now n is integer, but total <> 50

Answer 2

您必须针对

r

和

n

求解以下两个方程：

a:= An / Ao = r^(n - 1)

和

s:= Sn / Ao = (r^n - 1) / (r - 1)

您可以通过

消除

n

s = (r a - 1) / (r - 1)

并求解

r

。然后

n

接下来是

log(a) / log(r) + 1

。

---

就您而言，从

s = 50

和

a = 15

，我们获得

r = 7/5 = 1.4

和

n = 9.048...

将

n

舍入为

9

是有意义的，但是

r^8 = 15

(

r ~ 1.40285

) 和

r = 1.4

不太兼容。

Answer 3

您有足够的信息来解决它：

Sum of series = a + a*r + a*(r^2) ... + a*(r^(n-1))
= a*((r^n)-1)/(r-1)
= a*((last element * r) - 1)/(r-1)

给定级数

a

和最后一个元素的总和，您可以使用上面的等式来查找

r

的值。 插入给定示例的值：

50 = 1 * ((15*r)-1) / (r-1)
50r - 50 = 15r - 1
35r = 49
r = 1.4

然后，使用

sum of series = a*((r^n)-1)/(r-1)

:

50 = 1*((1.4^n)-1)(1.4-1)
21 = 1.4^n
n = log(21)/log(1.4) = 9.04

如果

n

不是整数，您可以近似

r

并重新计算

n

。