给定两个线段，找到该线段之间的距离是d的两个点。
这是类似于“之间的两个线段问题最短距离”，除了我们正在求解上由给定的距离d分开的线段的两个点。
每个线段由两个3维点。
我已经通过谷歌找到了数学同时搜索恐慌和迷惑我。我是一个程序员，但我很难理解的证据和分析解决背后的这样一个问题。
输入：2条线段和距离d
输出：2点上的每个段是从彼此相距一定距离d，或无如果不存在两个点
这是一种非迭代求解。我担心，数学会刺激你，虽然这里没有什么复杂的。
首先最容易与距离工作贯穿平方。
它一个threeD线通过点P和Q，以及其他由点R和S所描述的，然后说明该问题的一种方式是，我们希望找到标量m和n，使得距离的点之间的平方的馏分米沿第一行，和一个点的馏分ñ沿着第二是给定DSQ。
我们必须限制m和n为1（含）之间的0和，使我们的点是真正的线段。
如果有m和n，则点
X = P + m*(Q-P)
Y = R + n*(S-R)
假设我们是第一个发现DSQ的最小值和最大值。这将告诉我们是否有一个解决方案：如果DSQ的给定值是小于最小值或大于最大值，没有解决方案，我们可以停止。
让m和n为在其中发生最小是M_MIN和转速存取，以及那些用于最大是m_max所和N_MAX点值。如果我们引入一个新的变量z（在[0,1]），那么我们可以考虑一个的M“线”，N，值：
m(z) = m_min + z*(m_max-m_min)
n(z) = n_min + z*(n_max-n_min)
当z是0时，这些都为最小DSQ的值，而对于Z = 1，它们是用于maximim DSQ。因此，当我们从0到1增加Z，DSQ的价值必须经过我们想要的价值！也就是说，我们只需要搜索的z，使得DSQ是我们想要的价值的价值。
是什么使问题（相对）直接的是，X和Y之间的distanceSquared是m和n中的二阶多项式。具体而言，一些繁琐的代数表明，如果DSQ是X和Y之间的平方距离，
Dsq = a + 2*b*m + 2*c*m + d*m*m + 2*e*m*n + f*m*m
where, in terms of dot products
a = (P-R).(P-R)
b = (P-R).(Q-P)
c =-(P-R).(S-R)
d = (Q-P).(Q-P)
e =-(Q-P).(S-R)
f = (S-R).(S-R)
的最大值和最小值必须发生在角部的（（））M，N）=（0,0）或（0,1或（1,0或（1,1））的任一个或沿着边缘中的一个（在（0，N）或（1，n）的某些n或（M，0）或（M，1）的一些米），或者在中间的一个点，其中DSQ（的衍生物相对于m和N）均为0）。注：例如，关于边缘说（0，N），我们得到一个二次n个DSQ为，所以很容易找到的最大的那个。
更进一步，当我们走到一起的最小值和最大值之间的“行”看，如果我们替换M（z）和N（Z），成为我们的DSQ公式，我们得到的，更繁琐的代数后，沿z二次，所以很容易找到z的值，这将使DSQ的期望值。
那么，这个帖子已经是相当长的，所以这里的实现这些想法的C代码。我尝试了百万随机值的点，当距离总是最大和最小之间，它总能找到合适的三维点。在我（相当普通）Linux桌面这花了几秒钟。
// 3d vectors
static void v3_sub( double* P, double* Q, double* D)
{ D[0] = P[0]-Q[0];
D[1] = P[1]-Q[1];
D[2] = P[2]-Q[2];
}
static double v3_dot( double* P, double* Q)
{ return P[0]*Q[0] + P[1]*Q[1] + P[2]*Q[2];
}
// quadratic in one variable
// return *x so X -> r[0] + 2*r[1]*X + r[2]*X*X has minumum at *x
static int quad_min( const double*r, double* x)
{ if ( r[2] <= 0.0)
{ return 0;
}
*x = -r[1]/r[2];
return 1;
}
// return x so r[0] + 2*r[1]*x + r[2]*x*x == d, and whether 0<=x<=1
static int solve_quad( const double* r, double d, double* x)
{
double ap = r[0] - d;
if ( r[1] > 0.0)
{
double root1 = -(r[1] + sqrt( r[1]*r[1] - ap*r[2])); // < 0
*x = ap/root1;
}
else
{
double root1 = (-r[1] + sqrt( r[1]*r[1] - ap*r[2])); // >= 0
if ( root1 < r[2])
{ *x = root1/r[2];
}
else
{ *x = ap/root1;
}
}
return 0.0 <= *x && *x <= 1.0;
}
// quadratic in 2 variables
typedef struct
{ double a,b,c,d,e,f;
} quad2T;
static double eval_quad2( const quad2T* q, double m, double n)
{
return q->a
+ 2.0*(m*q->b + n*q->c)
+ m*m*q->d + 2.0*m*n*q->e + n*n*q->f
;
}
// eval coeffs of quad2 so that quad2(m,n) = distsq( P+m*(Q-P), R+n*(S-R))
static quad2T set_quad2( double* P, double* Q, double* R, double* S)
{
double D[3]; v3_sub( P, R, D);
double U[3]; v3_sub( Q, P, U);
double V[3]; v3_sub( S, R, V);
quad2T q;
// expansion of lengthSq( D+m*U-n*V)
q.a = v3_dot( D, D);
q.b = v3_dot( D, U);
q.c = -v3_dot( D, V);
q.d = v3_dot( U, U);
q.e = -v3_dot( U, V);
q.f = v3_dot( V, V);
return q;
}
// if gradient of q is 0 in [0,1]x[0,1], return (m,n) where it is zero
// gradient of q is 2*( q->b + m*q->d + n*q->e, q->c + m*q->e + n*q->f)
// so must solve ( q->d q->e ) * (m) = -(q->b)
// ( q->e q->f ) (n) (q->c)
static int dq_zero( const quad2T* q, double* m, double* n)
{
double det = q->d*q->f - q->e*q->e;
if ( det <= 0.0)
{ // note matrix be semi-positive definite, so negative determinant is rounding error
return 0;
}
*m = -( q->f*q->b - q->e*q->c)/det;
*n = -(-q->e*q->b + q->d*q->c)/det;
return 0.0 <= *m && *m <= 1.0
&& 0.0 <= *n && *n <= 1.0
;
}
// fill *n with minimising value, if any in [0,1], of n -> q(m0,n)
static int m_edge_min( const quad2T* q, double m0, double* n)
{
double r[3]; // coeffs of poly in n when m == m0
r[0] = q->a + 2.0*m0*q->b + m0*m0*q->d;
r[1] = q->c + m0*q->e;
r[2] = q->f;
return ( quad_min( r, n)
&& *n > 0.0 && *n < 1.0
);
}
// fill *m with minimising value, if any in [0,1], of m -> q(m,n0)
static int n_edge_min( const quad2T* q, double* m, double n0)
{
double r[3]; // coeffs of poly in m when n == n0
r[0] = q->a + 2.0*n0*q->c + n0*n0*q->f;
r[1] = q->b + n0*q->e;
r[2] = q->d;
return ( quad_min( r, m)
&& *m > 0.0 && *m < 1.0
);
}
// candidates for min, man
typedef struct
{ double m,n; // steps along lines
double d; // distance squared between points
} candT;
static int find_cands( const quad2T* q, candT* c)
{
int nc = 0;
double x, y;
// the corners
c[nc++] = (candT){ 0.0,0.0, eval_quad2( q, 0.0, 0.0)};
c[nc++] = (candT){ 0.0,1.0, eval_quad2( q, 0.0, 1.0)};
c[nc++] = (candT){ 1.0,1.0, eval_quad2( q, 1.0, 1.0)};
c[nc++] = (candT){ 1.0,0.0, eval_quad2( q, 1.0, 0.0)};
// the edges
if ( m_edge_min( q, 0.0, &x))
{ c[nc++] = (candT){ 0.0,x, eval_quad2( q, 0.0, x)};
}
if ( m_edge_min( q, 1.0, &x))
{ c[nc++] = (candT){ 1.0,x, eval_quad2( q, 1.0, x)};
}
if ( n_edge_min( q, &x, 0.0))
{ c[nc++] = (candT){ x, 0.0, eval_quad2( q, x, 0.0)};
}
if ( n_edge_min( q, &x, 1.0))
{ c[nc++] = (candT){ x, 1.0, eval_quad2( q, x, 1.0)};
}
// where the derivatives are 0
if ( dq_zero( q, &x, &y))
{ c[nc++] = (candT){ x, y, eval_quad2( q, x, y)};
}
return nc;
}
// fill in r so that
// r[0] + 2*r[1]*z + r[2]*z*z = q( minm+z*(maxm-minm), minn+x*(maxn-minn))
static void form_quad
( const quad2T* q
, double minm, double maxm
, double minn, double maxn
, double* r
)
{
double a = minm;
double c = maxm-minm;
double b = minn;
double d = maxn-minn;
r[0] = q->a + 2.0*q->b*a + 2.0*q->c*b + q->d*a*a + 2.0*q->e*a*b + q->f*b*b;
r[1] = q->b*c + q->c*d + q->d*a*c + q->e*(a*d+b*c) + q->f*b*d;
r[2] = q->d*c*c + 2.0*q->e*c*d + q->f*d*d;
}
static int find_points
( double* P, double* Q, double* R, double* S, double dsq, double* X, double* Y
)
{
double m, n;
quad2T q = set_quad2( P, Q, R, S);
candT c[9];
int nc = find_cands( &q, c); // find candidates for max and min
// find indices of max and min
int imin = 0;
int imax = 0;
for( int i=1; i<nc; ++i)
{ if ( c[i].d < c[imin].d)
{ imin = i;
}
else if ( c[i].d > c[imax].d)
{ imax = i;
}
}
// check if solution is possible -- should allow some slack here!
if ( c[imax].d < dsq || c[imin].d > dsq)
{ return 0;
}
// find solution
double r[3];
form_quad( &q, c[imin].m, c[imax].m, c[imin].n, c[imax].n, r);
double z;
if ( solve_quad( r, dsq, &z))
{ // fill in distances along
m = c[imin].m + z*(c[imax].m - c[imin].m);
n = c[imin].n + z*(c[imax].n - c[imin].n);
// compute points
for( int i=0; i<3; ++i)
{ X[i] = P[i] + m*(Q[i]-P[i]);
Y[i] = R[i] + n*(S[i]-R[i]);
}
return 1;
}
return 0;
}
假设2个端点线A的从上线B我会用蛮力方法最接近的端点不同的距离。我会选择线A的中心点为线C的一端，并且在“插入距离”的步骤滑动线C对B线的另一端，直到我内“插入距离”距离“d”的。
如果最接近我来到“d”太大我会成立C线的新端点上的一个是半路B / T A的中心点和A线的端点最接近到最近的端点上线B.如果最接近我来“d”太小，我会提出新的端点中途的b / T A的中心点和A线的最远端点b线最接近的端点
重复这个过程中“插入步骤”迭代并返回给我的最近距离终点为“d”，如果没有找到一个可接受值达到最大迭代次数之前。然后，你可以判断，如果你的算法是不允许足够步骤或具有贴近“d”过于严苛的价值。
如果线A的2个端点为从上线B的最接近端点相同距离，然后用线B的最远端点如果这些都是相同的，它是在哪个方向上的初始步骤发生任意的。
此外，而不是简单地滑动第二端点B线，您可以使用跳跃到小中点相同的算法（在正确的方向），以节省计算数量。
下面是一个迭代算法，需要一些数学而不是数学优化的一个深刻的理解。它的强大，但也许不是特别快。
在高层次上，这种算法是像二进制搜索（从技术上讲，三元搜索）。在每一对迭代，我们砍掉了什么仍然是各段，照顾如果存在保持一个有效的解决方案的恒定比例。我们可以用数学证明，在极限的迭代次数的增加，这两个领域缩小到分，如果存在的话，这些点是一个有效的解决方案。在实践中，我们在一些数量的迭代停止（例如，一百个，或当所述段是足够短），并在各段返回的任意点。
该算法采用两个数学成分。首先是计算一个点和线段之间的距离的公式。第二个问题是，正如我们沿一个分段扫描一个点，给其他的距离减小，然后增加的事实。
如果我有时间，我会展开说明。
from __future__ import division
def squared_distance_between_points(p, q):
"""Returns the squared distance between the point p and the point q."""
px, py, pz = p
qx, qy, qz = q
return (px - qx)**2 + (py - qy)**2 + (pz - qz)**2
def squared_distance_between_point_and_segment(p, q, r):
"""Returns the squared distance between the point p and the segment qr."""
px, py, pz = p
qx, qy, qz = q
rx, ry, rz = r
# Translate the points to move q to the origin (p' = p - q and r' = r - q).
px -= qx
py -= qy
pz -= qz
rx -= qx
ry -= qy
rz -= qz
# Project p' onto the line 0r'.
# The point on this line closest to p' is cr'.
c = (px * rx + py * ry + pz * rz) / (rx * rx + ry * ry + rz * rz)
# Derive c' by clamping c. The point on the segment 0r' closest to p is c'r'.
c = min(max(c, 0), 1)
# Compute the distance between p' and c'r'.
return squared_distance_between_points((px, py, pz),
(c * rx, c * ry, c * rz))
def trisect(p, q):
"""Returns the point one-third of the way from the point p to the point q."""
px, py, pz = p
qx, qy, qz = q
return ((2 * px + qx) / 3, (2 * py + qy) / 3, (2 * pz + qz) / 3)
def find_points_on_segments_at_distance(p, r, s, u, d, iterations=100):
"""Returns a point q on the segment pr and a point t on the segment su
such that the distance between q and t is approximately d.
If this is not possible (or barely possible), returns None."""
d **= 2
feasible = False
for i in range(2 * int(iterations)):
q1 = trisect(p, r)
d1 = squared_distance_between_point_and_segment(q1, s, u)
q2 = trisect(r, p)
d2 = squared_distance_between_point_and_segment(q2, s, u)
if d <= min(d1, d2):
# Use convexity to cut off one third of the search space.
if d1 <= d2:
r = q2
else:
p = q1
elif d <= max(d1, d2):
# There is certainly a solution in the middle third.
feasible = True
p = q1
r = q2
elif (d <= squared_distance_between_points(p, s)
or d <= squared_distance_between_points(p, u)):
# There is certainly a solution in the first third.
feasible = True
r = q1
elif (d <= squared_distance_between_points(r, s)
or d <= squared_distance_between_points(r, u)):
# There is certainly a solution in the last third.
feasible = True
p = q2
else:
# Definitely infeasible.
return None
# Swap the segments.
p, r, s, u = s, u, p, r
if not feasible:
return None
return p, r
这可以通过使用只是解决一个二次多项式初等代数来解决。请看下面的推导：
给定的行段P通过点P1和P2，并通过点Q1，Q2我们可以定义射线P（t）的所定义的线段Q中定义：
P（T）= P1 + T V
其中T是正标量和V是单位矢量：
V =（P2 - P1）/ | P2 - P1 |
和线段Q（吨）为：
Q（T）= Q1 +吨（Q2 - Q1）
其中，t是在区间[0 1]的正标量。
在线路Q（t）输出到线P任何点的最短距离是由点的投影上线P上的投影是沿着线P的法线向量给定
Q(t)
|
|
P1 ------------x------------ P2
因此，我们正在寻找在线路点x P，使得该向量（x - Q（t））的长度等于d：
| X - Q（t）的| ^ 2 = d ^ 2
点x可以使用射线P（t）的自T =（Q（T） - P1）来计算•五：
X = P（（Q（T） - P1）•V）
X = P1 +（（Q（T） - P1）•V）V
用P1 = - （P1•V）+ B（K（t）的•C）在
用P1 = - （P1•B）B +（K1•B）+ B M（（K2 - K1）•B）在
凡（•）为点积。
X = C + T d
哪里
C = P1 - （P1•B）B +（K1•B）在
d =（（Q2 - Q1）•V）w ^
现在方程如下：
| C + T d - Q1 - 吨（Q2 - Q1）| ^ 2 = d ^ 2
| C - Q1 + T（d - Q 2 + Q 1）| ^ 2 = d ^ 2
分组方式：
| T A + B | ^ 2 = d ^ 2
哪里
A =（d - Q2 + Q1）
B = C - Q1
以我们有方形：
（T A + B）•（T A + B）= d ^ 2
吨^ 2（A•A）+ 2 T（A•B）+（B•B - d ^ 2）= 0
这是一个简单的二次多项式。求解难道我们可以得到两个值，如果两个都是复数那么有没有真正的答案。如果两个都是真实的，然后我们有两个答案可能是由于对称性，我们必须选择一种吨区间[0 1]。
一旦我们有了吨我们可以计算使用Q（t）和在管线中的对应点X p在线段Q中的点
X = P（（Q（T） - P1）•V）
如果参数（Q（T） - P1）•V是在区间[0 L]，其中L是矢量的长度（P2 - P1），则x位于段线P的端部内，否则x是外然后没有答案已经找到。