牛顿拉夫森无解

Question

我正在使用牛顿拉夫森方法来查找 Java 中评估函数的根。我正在使用带有以下终止条件的 while 循环：

while(Math.abs(eval_x / deriv_x) > epsilon)

显然，如果差值大于 epsilon，可能会产生无限循环。我应该用更大的值替换 epsilon 还是应该包含一个在达到特定大值时打破 while 循环的计数器？

我想知道如何实现牛顿法的标准终止条件。

Answer 1

通常，对于牛顿法之类的方法，有许多终止标准：

1. 迭代次数的上限。例程可能会“卡住”或发散，如果找不到根，则应该在一定的最大迭代次数后退出。

2. 对

   x

   变化的容忍度。这可以是相对的，也可以是绝对的。如果算法产生的 x 变化低于某个值（例如

   1e-6

   ）并且您尚未收敛，那么您可能会陷入静止点。

3. 说到驻点，如果您的梯度（导数）低于一定的容差，您应该终止，因为您可能最终会到达驻点，并且如果您正在执行一维情况，则除以零。

4. 函数绝对值的公差。这是您想要接近零的程度的最终衡量标准。

请记住，如果您将函数值容差设置得太紧，牛顿方法可能永远不会产生足够小的

x

值变化，使您处于该容差范围内。因此，为什么你应该在

dx

上停止——当然还有最大迭代次数。