如何模拟 Gumbel 双变量指数分布的数据

Question

我正在写一篇论文，想要模拟 Gumbel 双变量指数分布 I 型和 II 型的数据。

这是 Gumbel 双变量分布：

我尝试使用

rgumbel

包中的

Gumbel

函数，但该包考虑了

lambda1 = lambda2 = 1

，但就我而言，我想考虑不同的 lambda 值。

此外，我尝试使用边际实现逆 CDF 均匀采样方法，但没有成功，因为边际认为相关性=0。

如果有 R 包，请帮忙，如果没有，在 R 中从头开始模拟二元指数分布数据背后的概念是什么？

Answer 1

以

x2

为条件的

x1

的分布是具有形状参数 1 和 2 以及权重和公共速率参数的伽马混合，它们是

x1

和 GBVE 参数的函数。那么采样方案就是

1. 从其边缘

   样本

   x1
2. 样品

   x2

   条件为

   x1

在函数中实现（你可能想检查我的代数）：

rGBVE <- function(n, lambda1, lambda2, theta) {
  x1 <- rexp(n, lambda1)
  lambda12 <- lambda1*lambda2
  pprod <- lambda12*theta
  C <- exp(lambda1*x1)
  A <- (lambda12 - pprod + pprod*lambda1*x1)/C
  B <- (pprod*lambda2 + pprod^2*x1)/C
  D <- lambda2 + pprod*x1
  wExp <- A/D
  wGamma <- B/D^2
  data.frame(x1, x2 = rgamma(n, (runif(n) > wExp/(wExp + wGamma)) + 1, D))
}

这将返回

n

中的

data.frame

样本。

更新

要得出此解决方案，请注意，当给出

x1

时，密度函数可以写成

(A + B*x2)/exp(logC + D*x2) = (A + B*x2)/(C*exp(D*x2)) = A/(C*D)*D*exp(-D*x2) + B/(C*D^2)*D^2*x2*exp(-D*x2)

的形式，其中

A

、

B

、

logC

、

C

和

D

对于给定的

x1

是常数。

D*exp(-D*x2)

是速率参数等于

D

的指数分布（或形状参数等于 1、速率参数等于

D

的伽马分布）的 PDF。

D^2*x2*exp(-D*x2)

是形状参数等于 2、速率参数等于

D

的伽玛分布的 PDF。

A/(C*D)

和

B/(C*D^2)

是混合分布的相对权重。

我仔细检查了我的代数，我相信它是正确的。该功能可以稍微简化一下（根据 JimB 的评论于 2024 年 9 月 20 日更新）：

rGBVE <- function(n, lambda1, lambda2, theta) {
  x1 <- rexp(n, lambda1)
  term <- 1 + lambda1*theta*x1
  data.frame(x1, x2 = rgamma(n, (runif(n) > 1 - theta/term) + 1, lambda2*term))
}