curve_fit 似乎高估了估计参数的误差

Question

我有一些来自实验室的数据，我正在将其拟合到函数中

f(s, params) = amp * (s/sp) / (1 + s/sp + 1.041) + bg（不知道如何输入设置）

我在

absolute_sigma=True

上设置

curve_fit

来获得参数（sp、amp、bg）的绝对不确定性，但是从

np.sqrt(np.diag(pcov))

计算出的误差似乎不合理。请参阅下面的图。蓝点是数据。红线是

f(s, *popt)

。绿线将最佳 sp 值替换为 sp - 这是根据

np.sqrt(np.diag(pcov))

计算得出的误差。橙色线是 sp + 相同的值。

我预计 +/- 线会比红线更紧。

这是一个最小的例子：

# Function for fitting
def scattering_rate(s, sp, amp, bg):
    return amp * (s/sp) / (1 + s/sp + (-20/19.6)**2) + bg

# data
s = np.array([0.6, 1.2, 2.3, 4.3, 8.1, 15.2, 28.5, 53.4])
y = np.array([8.6, 8.5, 8.9, 9.5, 10.6, 12.6, 15.5, 18.3])

# Fit data to saturated scattering rate
popt, pcov = curve_fit(scattering_rate, s, y, absolute_sigma=True)
print('Fit parameters', popt)
print('Fit uncertainties', np.sqrt(np.diag(pcov)))

# Construct fit from optimized parameters
fit_s = np.linspace(np.min(s), np.max(s), 100)
fit = scattering_rate(fit_s, *popt)

# Consider one error difference in sp value
fit_plus_err = saturation_power(fit_s, popt[0] + np.sqrt(np.diag(pcov))[0], popt[1], popt[2])
fit_minus_err = saturation_power(fit_s, popt[0] - np.sqrt(np.diag(pcov))[0], popt[1], popt[2])

# Plot
plt.plot(s, y, '-o', markeredgecolor='k', label='data')
plt.plot(fit_s, fit_plus_err, label='sp + err')
plt.plot(fit_s, fit_minus_err, label='sp - err')
plt.plot(fit_s, fit, '-r', label='opt sp')
plt.xlabel('s')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

编辑

根据@jlandercy的回答，我们需要原始数据的误差线，即

y_err = array([0.242, 0.231, 0.282, 0.31 , 0.373])

。包括

curve_fit

的

sigma

论证中，结果看起来好多了，虽然还是有点距离

Answer 1

为什么

使用

absolute_sigma=True

时，建议您也提供

sigma

开关，否则它们会被

1.

替换，使卡方损失函数表现为 RSS，并且如果您的不确定性不是单一的，

pcov

会变得毫无意义。

修复

提供不确定性或对其的估计，以获得有意义的

pcov

矩阵。

使用您的数据将

sigma

设置为

0.15

可显着改善

pcov

矩阵，同时保持卡方统计数据显着：

sy = np.full(y.size, 0.15)
popt, pcov = curve_fit(scattering_rate, s, y, sigma=sy, absolute_sigma=True)
np.sqrt(pcov)

# array([[3.25479068, 2.07084837, 0.45391942],
#       [2.07084837, 1.35773667, 0.2563505 ],
#       [0.45391942, 0.2563505 , 0.09865549]])