如何画出尽可能准确的蝴蝶曲线？

Question

我正在尝试使用 Java 绘制一条

蝴蝶曲线

。

这是上述曲线的参数方程：

根据我在大学时的记忆，用

Java

绘制参数方程的方法是：

public void paintComponent(Graphics g) {
    super.paintComponent(g);
    Graphics2D g2 = (Graphics2D)g;
    g2.translate(300,300);
    int x1,y1;
    int x0 = 0;
    int y0 = (int)(Math.E-2); //for x = 0, we get y = Math.E - 2
    int nPoints = 1000;
    g2.scale(30,-30);
    for(int i=0;i<nPoints;i++) {
        double t= 12*i*Math.PI/nPoints; //to make it between 0 and 12*PI.
        x1=(int)(Math.sin(t)*(Math.pow(Math.E,Math.cos(t))-2*Math.cos(4*t)-Math.pow(Math.sin(t/12),5)));
        y1 = (int)(Math.cos(t)*(Math.pow(Math.E,Math.cos(t))-2*Math.cos(4*t)-Math.pow(Math.sin(t/12),5)));
        g2.drawLine(x0,y0,x1,y1);
        x0=x1;
        y0=y1;
    }
}

现在，这给了我下一个结果：

好吧，这离预期的结果太远了。

然后我决定使用

Line2D.Double

进行尝试，认为这样可以提供更准确的绘图。

public void paintComponent(Graphics g) {
    super.paintComponent(g);
    Graphics2D g2 = (Graphics2D)g;
    g2.translate(300,300);
    double x1,y1;
    double x0 = 0;
    int nPoints = 500;
    g2.scale(30,-30);
    double y0 = Math.E-2;
    for(int i=0;i<nPoints;i++) {
        double t= 12*i*Math.PI/nPoints;
        x1=(Math.sin(t)*(Math.pow(Math.E,Math.cos(t))-2*Math.cos(4*t)-Math.pow(Math.sin(t/12),5)));
        y1 = (Math.cos(t)*(Math.pow(Math.E,Math.cos(t))-2*Math.cos(4*t)-Math.pow(Math.sin(t/12),5)));
        g2.draw(new Line2D.Double(x0,y0,x1,y1));
        x0=x1;
        y0=y1;
    }
}

这产生了下一个结果：

好吧，这看起来确实更好，但肯定不是预期的结果。

因此我想问，有没有办法使用这个带有

Java

的参数方程来绘制最准确的曲线？

它不必看起来 100% 像上图，但最接近。

Answer 1

您的比例声明也会缩放线条的宽度，从而导致曲线的奇怪形状。有两种简单的方法可以解决问题：

1. 减少线条的宽度，例如至 0.01f：

   Graphics2D g2 = (Graphics2D)g;
   g2.translate(300,300);
   double x1,y1;
   double x0 = 0;
   int nPoints = 500;
   // Alternative 1 ---------------------
   g2.scale(30,-30);
   g2.setStroke(new BasicStroke(0.01f ));
   // -----------------------------------
   double y0 = Math.E-2;
   for(int i=0;i<nPoints;i++) {
       double t= 12*i*Math.PI/nPoints;
       x1= (Math.sin(t)*(Math.pow(Math.E,Math.cos(t))-2*Math.cos(4*t)-Math.pow(Math.sin(t/12),5)));
       y1 = (Math.cos(t)*(Math.pow(Math.E,Math.cos(t))-2*Math.cos(4*t)-Math.pow(Math.sin(t/12),5)));
       g2.draw(new Line2D.Double(x0,y0,x1,y1));
       x0=x1;
       y0=y1;
   }  
   

这会导致：

2. 删除缩放语句并使用其幅度缩放曲线，即使用关于 x 和 y 值的常数前置因子，例如-30：

   Graphics2D g2 = (Graphics2D)g;
   g2.translate(300,300);
   double x1,y1;
   double x0 = 0;
   int nPoints = 500;
   // Alternative 2 ---------------------
   double amp = -30.0;
   // -----------------------------------
   double y0 = Math.E-2;
   for(int i=0;i<nPoints;i++) {
       double t= 12*i*Math.PI/nPoints;
       // Alternative 2 ----------------------------------------------------------------------------------
       x1=amp*(Math.sin(t)*(Math.pow(Math.E,Math.cos(t))-2*Math.cos(4*t)-Math.pow(Math.sin(t/12),5)));
       y1=amp*(Math.cos(t)*(Math.pow(Math.E,Math.cos(t))-2*Math.cos(4*t)-Math.pow(Math.sin(t/12),5)));
       // ------------------------------------------------------------------------------------------------
       g2.draw(new Line2D.Double(x0,y0,x1,y1));
       x0=x1;
       y0=y1;
   }  
   

这会导致（或多或少相同）：

此外，您可以通过使用抗锯齿和增加 nPoints 来提高绘图质量：

    Graphics2D g2 = (Graphics2D)g;
    // Optimization ------------------------------------
    g2.setRenderingHint(RenderingHints.KEY_ANTIALIASING,
            RenderingHints.VALUE_ANTIALIAS_ON);
    int nPoints = 1500;
    // -------------------------------------------------
    g2.translate(300,300);
    double x1,y1;
    double x0 = 0;
    // Alternative 1 ---------------------
    g2.scale(50,-50);
    g2.setStroke(new BasicStroke(0.01f ));
    // -----------------------------------
    double y0 = Math.E-2;
    for(int i=0;i<nPoints;i++) {
        double t= 12*i*Math.PI/nPoints;
        x1= (Math.sin(t)*(Math.pow(Math.E,Math.cos(t))-2*Math.cos(4*t)-Math.pow(Math.sin(t/12),5)));
        y1 = (Math.cos(t)*(Math.pow(Math.E,Math.cos(t))-2*Math.cos(4*t)-Math.pow(Math.sin(t/12),5)));
        g2.draw(new Line2D.Double(x0,y0,x1,y1));
        x0=x1;
        y0=y1;
    }  

结果（看起来好多了）：

到目前为止，两点之间的连接是一条直线。当然，您可以使用样条线（贝塞尔曲线等）进行进一步优化，但这可能并不简单。

Answer 2

蝴蝶的参数方程如下：

编写一段java代码段来适当地绘制这个函数