为什么旋转3D点云后顶点法线会翻转？

Question

我有两个人脸3D点云样本。蓝点云表示目标面，红点云表示模板。下图显示目标和模板面在不同方向上对齐（目标面大致沿x轴，模板面大致沿y轴）。

图1：鼻子周围的区域如图1所示。

我想用鼻尖旋转我的目标面（蓝色面）作为旋转中心（我将目标转换为图1之前的模板，以便鼻子的尖端，即两个面的centerpt叠加）与模板面（红色面）对齐。我使用以下MATLAB代码旋转了目标面：

% PCA for the target face
targetFaceptfmt = pointCloud(targetFace); % Convert to point cloud format
point = [templateFace(3522, 1), templateFace(3522, 2), templateFace(3522, 3)]; % The 3522th point in the templateFace is the nasal tip point used as center of rotation later on
radius = 20; % 20mm
[NNTarIndex, NNTarDist] = findNeighborsInRadius(Locationptfmt, point, radius); % Find all vertices within 20 of the nasal tip point on the target face
NNTar = select(Locationptfmt, NNTarIndex); % Select the identified points for PCA
[TarVec,TarSCORE,TarVal] = pca(NNTar.Location); % Do PCA for target face using vertices close to the nasal tip

% PCA for the template face
templateFaceptfmt = pointCloud(templateFace); % Convert to point cloud format
[NNTemIndex, NNTemDist] = findNeighborsInRadius( templateFaceptfmt, point, radius); % Find all vertices within 20 of the nasal tip point on the template
NNTem = select(templateFaceptfmt, NNTemIndex); % Select the identified points for PCA
[TemVec,TemSCORE,TemVal] = pca(NNTem.Location); % Do PCA for template face using vertices close to the nasal tip

% Rotate target face with nasal tip point as the center of rotation
targetFace_r = R * (targetFace-cenertpt)' + centerpt';
targetFace_new = targetFace_r';

其中targetFace和templateFace分别包含未旋转目标面和模板面的坐标。 targetFace_r包含在鼻尖周围旋转后目标面的坐标，R是通过PCA计算的旋转矩阵（参见here的旋转公式源），centerpt是用作旋转中心的鼻尖点。然后，我绘制了转置的targetFace_r，即targetFace_new，并将法线添加到每个顶点：

图2：

在旋转之前，目标面和模板面的法线通常指向相似的方向（图1）。旋转后，目标和模板面都沿y轴对齐（这就是我想要的），但是，目标面和模板面的法线指向相反的方向。请记住，模板面没有任何变化，我意识到旋转后计算的目标面的法线被翻转。但我不知道为什么。我在R中使用了Rvcg包的checkFaceOrientation函数来检查沿法线的扩展是否增加了质心大小。模板面返回TRUE，目标面返回FALSE，确认目标面的顶点法线被翻转。

顶点法线在MATLAB中计算如下：

TR = triangulation(Faces, Vertices); % Triangulation based on face and vertex information
VN = vertexNormal(TR); % Calculate vertext normal

其中Faces包含面部信息，即连通性列表，Vertices包含顶点的坐标。对于旋转前的目标面，旋转后的目标面，模板面，顶点法线分别计算。我使用相同的Faces数据来计算旋转目标面之前和之后的顶点法线。

翻转的顶点法线导致一些进一步分析的错误。因此，我必须手动翻转法线以使它们与模板面的法线类似地指向。

图3：图3显示在手动翻转法线后，目标和模板面的法线通常指向方向相似。

我的问题是为什么在旋转翻转后计算目标面的法线？在什么情况下，3D点云的旋转会导致顶点法线的翻转？

一些可能有用的进一步信息：我获得的旋转矩阵qazxsw poi如下供您参考：

R

自从qazxsw poi以来，我通过qazxsw poi计算α，相对于鼻尖点产生了91.7904的旋转角度。

Answer 1

如果我正确地理解了一切，看起来你的旋转矩阵实际上是编码旋转加上反射。如果您的矩阵大约是：

0.0473096146726546  0.867593376108813   -0.495018720950670
0.987013081649028   0.0355601323276586  0.156654567895508
-0.153515396665006  0.496001220483328   0.854643675613313

然后，沿正轴指向的每个单位矢量的图像是：

trace(R) = 1 + 2cos(alpha)

然而，如果你采用acos((trace(R)-1)/2)*180/pi和

 0.04  0.86  -0.49
 0.98  0.03   0.15
-0.15  0.49   0.85

（

x = [ 0.04 0.98 -0.15]
y = [ 0.86 0.03  0.49]
z = [-0.49 0.15  0.85]

）的交叉积，你得到大约x，这是y的否定，这意味着矩阵编码旋转和反射。当然，将网格的顶点乘以反射矩阵将反转其多边形的缠绕顺序，从而产生反向法线。

在您引用的幻灯片中，它指出生成旋转矩阵的PCA方法应该只考虑3D情况下的四种不同轴组合，以确保输出矩阵服从右手规则。如果检查了所有轴组合，那么PCA可以在搜索最佳匹配时考虑旋转和反射空间。如果是这种情况，并且如果数据中存在一些噪声，使得模板的左半部分与目标的右半部分稍微匹配，反之亦然，则PCA方法可能会生成类似于一个的反射矩阵。你观察。也许您可能想重新审视如何从PCA结果生成cross(x, y)的逻辑？

Answer 2

正如[0.49 -0.15 -0.85]所提到的，顶点法线的方向将取决于你如何在z矩阵中排序三角形面。这将遵循R，您的手指遵循三角形周围的顶点顺序，拇指指示表面法线方向。这是一个简单的例子来帮助说明：

in the comments

在此示例中，Faces包含x-y平面中单位正方形的4个顶点，如果从正z向下看，则顺时针排序。在right-hand rule中定义了两个三角形面，并且每行中的索引的顺序也沿着顶点以顺时针方式描绘。这导致每个面指向负z方向的表面法线。当计算顶点法线时，它们也指向负z方向。

当我们翻转一个三角形的顺序使其点逆时针时会发生什么？...

Vertices = [0 0; 0 1; 1 1; 1 0];  % Points clockwise around a unit square in x-y plane
Faces = [1 2 3; 1 3 4];           % Two triangular facets, clockwise vertex ordering
TR = triangulation(Faces, Vertices);
VN = vertexNormal(TR)

VN =

     0     0    -1
     0     0    -1
     0     0    -1
     0     0    -1

现在，第二个三角形的曲面法线指向正z方向。仅由一个三角形（第2行和第4行）使用的顶点将具有与曲面法线匹配的顶点法线，而每个（第1行和第3行）共享的顶点将具有0的顶点法线（两个曲面法线取消） 。

这将如何帮助您解决问题？嗯，这很难说，因为我不确切地知道你是如何定义Vertices和Faces的。但是，如果您确定网格中的每个顶点法线都指向错误的方向，则可以通过在计算法线之前交换

Faces = [1 2 3; 1 4 3];  % Second facet is 1 4 3 instead of 1 3 4
TR = triangulation(Faces, Vertices);
VN = vertexNormal(TR)

VN =

     0     0     0
     0     0    -1
     0     0     0
     0     0     1

矩阵中的两列来轻松地将它们全部翻转：

Faces