Matlab - 生成随机非奇异三角矩阵

Question

如何生成随机三角矩阵？ （上下）

通常我使用rand(n)，但如果我尝试tril(rand(n))它将是单数，我不希望这样。

Answer 1

你的答案是对的：

 A=tril(rand(n))

你可以检查这个矩阵是不是单数使用

 rcond(A)>eps

要么

 min(svd(A))>eps

并验证最小的奇异值是否大于eps，或任何其他与您的需求相关的数值公差。 （代码将返回1或0）。对于n>50，你将开始接近奇异矩阵。

这是对矩阵如何以其大小接近奇点的小分析......

Answer 2

好的，这里是关于三角矩阵奇点的想法。三角矩阵的行列式决定了奇点，因为当构造逆矩阵时它会进入分母。三角矩阵的性质使得行列式等于对角元素的乘积。

因此，对于矩阵NxN，我们在对角线上具有i.i.d的乘积。 U（0,1）数字。显然，当N增加时，行列式将会减少，因为所有数字都<1且越多，产品（也就是决定因素）的价值就越小。

有趣的是检查对于det = X1X2 ... * XN，平均值将下降为2-N，因为乘积中的每个项是U（0,1），均值为1/2，并且它们都是i.i.d.替代检查将是从产品PDF计算平均值（参见https://math.stackexchange.com/questions/659254/product-distribution-of-two-uniform-distribution-what-about-3-or-more），实际上，它将给出完全相同的结果，2-N。也可以计算行列式的方差，因为第二动量减去均方，并且它等于（3-N-4-N）。

请注意，这些是平均值，您可以平均预期，例如，如果您对N = 100的106个三角矩阵进行采样，计算它们的行列式并对其求平均值，您会发现它非常接近2-100。

这就是问题所在。平均而言，三角形随机矩阵随着N的增长呈指数级变为奇点。 2-10约等于1 / 1,000。 2-20约等于1 / 1,000,000。对于N = 100，它应该平均约为10-30左右，这使得整个运动没有实际意义。

不幸的是，除了这个简单的分析，我无法提供任何东西

Answer 3

如果你想要一个条件良好的随机三角矩阵，你可以用A = rand（n）取A2的三角形部分。因此，对于任何大小n的triu（A * A）都有良好的条件，但当然对于矩阵 - 矩阵乘法具有复杂度O（n3）。