SciPy 的solve_bvp 正在求解错误的参数值

Question

我正在用

scipy

的

solve_bvp

求解常微分方程，以获得一系列本征态

phi_n

和特征值

omega_n

。等式看起来像

y'' = -(omega_n - f(x)) ** 2 * y

, 我希望它遵守边界条件

y(0)=y(1)=0

。

f(x)

是取决于某些物理参数的给定函数。

问题是，对于某些“关键”

f(x)

，系统开始表现得非常奇怪，而且有点不稳定。在这些不稳定性附近，

solve_bvp

要么不收敛，要么

omega_n

会出现错误的特征值。例如，如果特征值为 pi、2pi、3pi...，并且我输入为

omega_n

pi-0.3，它可能会收敛到 2pi。这是非常相关的，因为两次重复的解决方案会影响我想从那里计算的一些物理量。

此外，解和特征值猜测也非常好。它们要么是手工计算的，要么是根据之前的

solve_bvp

解决方案计算出来的。

我的问题是：

1. solve_bvp

   使用什么整合方法？有没有更有效的方法？

我在

solve_bvp

文档中找不到这个，我担心我无法更改它。

2. 通常影响参数收敛的因素有哪些？增加

   max_nodes

   会将误差从“重复特征值”/“解未收敛”更改为

   MemoryError

   。 降低

   tol

   以获得更好的准确性似乎也没有多大帮助。

我很乐意发布 MWE，但我认为它没有必要/有用，因为：

1. 大约有400-500行长，

2. 我问的是

   solve_bvp

   的一般行为

Answer 1

问题出在所使用的数值方法上。我想要找到根的函数基本上是 y(omega)(1)，即找到 omega 以满足边界条件。

在研究这个函数时，它呈现出一个非常接近根的极值。当使用牛顿法解决这个问题时，即使用函数的导数将函数逼近为一条直线，如果猜测的欧米伽太接近极值，它就会远离实际的根。我使用二分法修复了它，因为我大约知道函数 y(omega)(1)

的形状