规模大于和小于1的科学正态分布

Question

我正在使用numpy的正态分布，并且很难理解其文档。假设我的正态分布的平均值为5，标准差为0.5：

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy.stats import norm

mean = 5
std = 0.25

x = np.linspace(mean - 3*std, mean + 3*std, 1000)
y = norm(loc=mean, scale=std).pdf(x)
plt.plot(x,y)

结果图是熟悉的钟形曲线，但其峰值在1.6左右。任何值的概率如何超过1？如果我将其乘以scale，则概率是正确的。

但是，当std（和scale）大于1时没有这种问题：

mean = 5
std = 10

x = np.linspace(mean - 3*std, mean + 3*std, 1000)
y = norm(loc=mean, scale=std).pdf(x)
plt.plot(x,y)

documentation上的norm表示loc是平均值，scale是标准偏差。为什么scale大于和小于1时，它的表现如此奇怪？

Python 3.8.2。 Scipy 1.4.1

Answer 1

正在绘制的“钟形曲线”是概率密度函数（PDF）。这意味着随机变量的分布在任何间隔[a，b]内的概率是a和b之间的曲线下的面积。因此，曲线下的整个区域（从-无限到+无限）必须为1。因此，当标准偏差较小时，PDF的最大值可能会大于1，对此并不奇怪。