判断一个点是否在多面体内。

Question

我试图确定一个特定的点是否位于多面体内部。在我目前的实现中，我正在研究的方法是将我们正在寻找的点作为一个多面体的面数组（在这种情况下是三角形，但以后可能是其他多边形）。我一直在尝试从这里找到的信息来工作。http:/softsurfer.comArchivealgorithm_0111algorithm_0111.htm

下面，你会看到我的 "内部 "方法。我知道nrmlnormal这个东西有点奇怪......这是旧代码的结果。当我运行这个方法时，无论我给它什么输入，它似乎总是返回true。这个问题已经解决了，请看我下面的回答--这段代码现在可以用了）。

bool Container::inside(Point* point, float* polyhedron[3], int faces) {
  Vector* dS = Vector::fromPoints(point->X, point->Y, point->Z,
                 100, 100, 100);
  int T_e = 0;
  int T_l = 1;

  for (int i = 0; i < faces; i++) {
    float* polygon = polyhedron[i];

    float* nrml = normal(&polygon[0], &polygon[1], &polygon[2]);
    Vector* normal = new Vector(nrml[0], nrml[1], nrml[2]);
    delete nrml;

    float N = -((point->X-polygon[0][0])*normal->X + 
                (point->Y-polygon[0][1])*normal->Y +
                (point->Z-polygon[0][2])*normal->Z);
    float D = dS->dot(*normal);

    if (D == 0) {
      if (N < 0) {
        return false;
      }

      continue;
    }

    float t = N/D;

    if (D < 0) {
      T_e = (t > T_e) ? t : T_e;
      if (T_e > T_l) {
        return false;
      }
    } else {
      T_l = (t < T_l) ? t : T_l;
      if (T_l < T_e) {
        return false;
      }
    }
  }

  return true;
}

这是用C++语言编写的，但正如注释中提到的，它真的是非常不可知的语言。

Answer 1

你问题中的链接已经过期，我无法从你的代码中理解算法。假设你有一个 凸面 多面体与 逆时针 的面（从外面看），检查你的点是否在所有面的后面就可以了。要做到这一点，你可以从点到每个面的向量，并检查与面的法线的标量积的符号。如果是正数，则该点在面的后面；如果是零，则该点在面上；如果是负数，则该点在面的前面。

这里是一些完整的C++11代码，它适用于3点面或普通的多点面（只考虑前3点）。你可以很容易地改变 bound 来排除边界。

#include <vector>
#include <cassert>
#include <iostream>
#include <cmath>

struct Vector {
  double x, y, z;

  Vector operator-(Vector p) const {
    return Vector{x - p.x, y - p.y, z - p.z};
  }

  Vector cross(Vector p) const {
    return Vector{
      y * p.z - p.y * z,
      z * p.x - p.z * x,
      x * p.y - p.x * y
    };
  }

  double dot(Vector p) const {
    return x * p.x + y * p.y + z * p.z;
  }

  double norm() const {
    return std::sqrt(x*x + y*y + z*z);
  }
};

using Point = Vector;

struct Face {
  std::vector<Point> v;

  Vector normal() const {
    assert(v.size() > 2);
    Vector dir1 = v[1] - v[0];
    Vector dir2 = v[2] - v[0];
    Vector n  = dir1.cross(dir2);
    double d = n.norm();
    return Vector{n.x / d, n.y / d, n.z / d};
  }
};

bool isInConvexPoly(Point const& p, std::vector<Face> const& fs) {
  for (Face const& f : fs) {
    Vector p2f = f.v[0] - p;         // f.v[0] is an arbitrary point on f
    double d = p2f.dot(f.normal());
    d /= p2f.norm();                 // for numeric stability

    constexpr double bound = -1e-15; // use 1e15 to exclude boundaries
    if (d < bound)
      return false;
  }

  return true;
}

int main(int argc, char* argv[]) {
  assert(argc == 3+1);
  char* end;
  Point p;
  p.x = std::strtod(argv[1], &end);
  p.y = std::strtod(argv[2], &end);
  p.z = std::strtod(argv[3], &end);

  std::vector<Face> cube{ // faces with 4 points, last point is ignored
    Face{{Point{0,0,0}, Point{1,0,0}, Point{1,0,1}, Point{0,0,1}}}, // front
    Face{{Point{0,1,0}, Point{0,1,1}, Point{1,1,1}, Point{1,1,0}}}, // back
    Face{{Point{0,0,0}, Point{0,0,1}, Point{0,1,1}, Point{0,1,0}}}, // left
    Face{{Point{1,0,0}, Point{1,1,0}, Point{1,1,1}, Point{1,0,1}}}, // right
    Face{{Point{0,0,1}, Point{1,0,1}, Point{1,1,1}, Point{0,1,1}}}, // top
    Face{{Point{0,0,0}, Point{0,1,0}, Point{1,1,0}, Point{1,0,0}}}, // bottom
  };

  std::cout << (isInConvexPoly(p, cube) ? "inside" : "outside") << std::endl;

  return 0;
}

用你喜欢的编译器编译它

clang++ -Wall -std=c++11 code.cpp -o inpoly

试探

$ ./inpoly 0.5 0.5 0.5
inside
$ ./inpoly 1 1 1
inside
$ ./inpoly 2 2 2
outside

Answer 2

原来，问题出在我对上面链接中提到的算法的解读上。我当时的解读是

N = - dot product of (P0-Vi) and ni;

如...

N = - dot product of S and ni;

改了之后，现在上面的代码似乎可以正常工作了。我也在更新问题中的代码，以反映正确的解决方案）。