生成行和列的总和独立为1的非对称NxM矩阵

Question

给定N行和M列的目标矩阵大小，是否可以选择所有行和列的总和为1的值，条件是矩阵在对角线上不对称？这是我在N == M时能够生成的目标矩阵（当N！= M时出现问题-见下文）：

[[0.08345877 0.12844672 0.90911941 0.41964704 0.57709569]
 [0.53949086 0.07965491 0.62582134 0.48922244 0.38357809]
 [0.80619328 0.27581426 0.31312973 0.26855717 0.4540732 ]
 [0.11803505 0.88201276 0.1990759  0.2818701  0.63677383]
 [0.57058968 0.75183898 0.07062126 0.6584709  0.06624682]]

我用numpy编写。目前，我编写了以下（蛮力）代码，当n == m时，我知道该代码有效。但是，如果n！= m，则行和列总和不收敛到0，和行和与列总和之比收敛到（n / m）：

n,m = (5,4)
mat = np.random.random((n,m))
for i in range(100):
    s0 = mat.sum(0)
    s1 = mat.sum(1)[:,newaxis]
    mat = (mat/s0)
    mat = (mat/s1)
    if i%10 == 0:
        print(s0[0]/s1[0,0])

在这种情况下，最终输出为1.25（即n / m或5/4）。我开始认为这可能在数学上是不可能的。有人可以证明我错了吗？

Answer 1

我怀疑您是正确的，如果N！= M，则无法解决问题。

以2x3矩阵为例：

[[a b c]
 [d e f]]

假定所有行和所有列的总和为1并显示矛盾。行的总和为1，所以：

a+b+c = 1
d+e+f = 1
这给：

(a+b+c)+(d+e+f) = 1 + 1 = 2
现在查看列。每列的总和也为1，所以我们有：

a+d = 1
b+e = 1
c+f = 1
将三个列方程结合起来：

(a+d)+(b+e)+(c+f) = 1 + 1 + 1 = 3
由于所有六个矩阵元素的总和不能同时为2和3，2 != 3，初始假设导致了矛盾，因此被证明。更一般而言，对于具有N行和M列的N！= M，无法解决该问题。

对于平方矩阵，当N = M时，矛盾消失。