具有相等和不等式的回归约束了R中的系数

Question

我试图使用RSS获得估计的约束系数。 β系数被约束在[0,1]和sum之间。另外，我的第三个参数被约束在（-1,1）之间。利用下面的内容，我可以使用模拟变量获得一个很好的解决方案，但是当我在实际数据集上实现该方法时，我会不断找到一个非独特的解决方案。反过来，我想知道是否有一种更加数字稳定的方式来获得我的估计参数。

set.seed(234)
k = 2
a = diff(c(0, sort(runif(k-1)), 1))
n = 1e4
x = matrix(rnorm(k*n), nc = k)
a2 = -0.5
y = a2 * (x %*% a) + rnorm(n)
f = function(u){sum((y - u[3] * (x %*% u[1:2]))^2)}
g = function(v){

v1 = v[1]
v2 = v[2]
u = vector(mode = "double", length = 3)

# ensure in (0,1)
v1 = 1 / (1 + exp(-v1))

# ensure add up to 1
u[1:2] = c(v1, 1 - sum(v1))

# ensure between [-1,1]
u[3] = (v2^2 - 1) / (v2^2 + 1)
u
}

res = optim(rnorm(2), function(v) f(g(v)), hessian = TRUE, method = "BFGS")
eigen(res$hessian)$values
res$convergence
rbind(Est = res$par, SE = sqrt(diag(solve(res$hessian))))
rbind(g(res$par),c(a,a2))

向http://zoonek.free.fr/blosxom/R/2012-06-01_Optimization.html致敬

Answer 1

由于到目前为止还没有直接回答你的问题，我想说明如何在Stan/RStan中实现参数约束模型。您应该尝试使用您的真实数据。

进行贝叶斯推理的优势在于为您的（约束的）模型参数提供后验概率。然后可以容易地计算包括置信区间的点估计。

1. 首先，我们加载库并设置RStan以存储已编译的模型并使用多个核心（如果可用）。

   library(rstan);
   rstan_options(auto_write = TRUE);
   options(mc.cores = parallel::detectCores());

2. 我们现在定义我们的Stan模型。在这种情况下，它非常简单，我们可以将RStan的simplex数据类型用于总和为1的非负值的向量。

   model <- "
   data {
       int<lower=1> n;   // number of observations
       int<lower=0> k;   // number of parameters
       matrix[n, k] X;   // data
       vector[n] y;      // response
   }
   
   parameters {
       real a2;          // a2 is a free scaling parameter
       simplex[k] a;     // a is constrained to sum to 1
       real sigma;       // residuals
   }
   
   model {
       // Likelihood
       y ~ normal(a2 * (X * a), sigma);
   }"

   Stan支持各种约束数据类型;我建议在Stan manual上花很多钱来寻找更复杂的例子。
3. 使用原始问题中的示例数据，我们可以运行我们的模型：

   # Sample data
   set.seed(234);
   k = 2;
   a = diff(c(0, sort(runif(k-1)), 1));
   n = 1e4;
   x = matrix(rnorm(k * n), nc = k);
   a2 = -0.5;
   y = a2 * (x %*% a) + rnorm(n);
   
   # Fit stan model
   fit <- stan(
       model_code = model,
       data = list(
           n = n,
           k = k,
           X = x,
           y = as.numeric(y)),
       iter = 4000,
       chains = 4);

   运行模型只需要几秒钟（在解析器内部翻译并在C ++中编译模型之后），并且完整的结果（所有参数的后验分布都以条件为条件）存储在fit中。
4. 我们可以使用fit检查summary的内容：

   # Extract parameter estimates
   pars <- summary(fit)$summary;
   pars;
   #               mean      se_mean          sd          2.5%           25%
   #a2       -0.4915289 1.970327e-04 0.014363398    -0.5194985    -0.5011471
   #a[1]      0.7640606 2.273282e-04 0.016348488     0.7327691     0.7527457
   #a[2]      0.2359394 2.273282e-04 0.016348488     0.2040952     0.2248482
   #sigma     1.0048695 8.746869e-05 0.007048116     0.9909698     1.0001889
   #lp__  -5048.4273105 1.881305e-02 1.204892294 -5051.4871931 -5048.9800451
   #                50%           75%         97.5%    n_eff      Rhat
   #a2       -0.4916061    -0.4819086    -0.4625947 5314.196 1.0000947
   #a[1]      0.7638723     0.7751518     0.7959048 5171.881 0.9997468
   #a[2]      0.2361277     0.2472543     0.2672309 5171.881 0.9997468
   #sigma     1.0048994     1.0095420     1.0187554 6492.930 0.9998086
   #lp__  -5048.1238783 -5047.5409682 -5047.0355381 4101.832 1.0012841

   你可以看到a[1]+a[2]=1。 绘制参数估计值（包括置信区间）也很容易： plot(fit);

Answer 2

解决具有相等和不等式约束的优化问题的最简单方法很可能是通过“增广拉格朗日”方法。在R中，这例如在alabama包中实现。

# function and gradient
fn = function(u){sum((y - u[3] * (x %*% u[1:2]))^2)}
gr = function(u) numDeriv::grad(fn, u)

# constraint sum(u) == 1
heq = function(u) sum(u) - 1
# constraints 0 <= u[1],u[2] <= 1; -1 <= u[3] <= 1
hin = function(u) c(u[1], u[2], 1-u[1], 1-u[2], u[3]+1, 1-u[3])

sol_a = alabama::auglag(c(0.5, 0.5, 0), fn, gr, hin=hin, heq=heq)
sol_a
## $par
## [1]  1.0000000  0.3642904 -0.3642904
## $value
## [1] 10094.74
## ...
## $hessian
##             [,1]        [,2]        [,3]
## [1,] 15009565054  9999999977  9999992926
## [2,]  9999999977 10000002578  9999997167
## [3,]  9999992926  9999997167 10000022569

对于包含“增强拉格朗日”过程的其他包，请参阅有关优化的CRAN任务视图。