最大安全整数可以用 IEEE 双精度格式 2⁵³ 或 2⁵⁴ 表示吗？

Question

我在多篇文章中看到，以 IEEE 双精度格式表示的最大安全整数是 2⁵³:

• https://stackoverflow.com/a/3793950
• https://stackoverflow.com/a/1848768
• https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/JavaScript/Reference/Global_Objects/Number/MAX_SAFE_INTEGER

但是有一篇文章说它是 2⁵⁴:

https://stackoverflow.com/a/12445693

所有整数可以表示的范围（包括边界）

• 2⁵⁴ 作为上限
• -2⁵⁴ 作为下限

这个答案是错误的还是我遗漏了什么？

编辑：

以上帖子现在似乎已更正。

Answer 1

但是有一篇文章说它是 2^54：https://stackoverflow.com/a/12445693

所有整数可以表示的范围（包括边界） 2^54 为上限 -2^54 为下限

这个答案是错误的还是我遗漏了什么？

你没有错过什么。 IEEE 754 双精度二进制浮点（“double”）无法表示的第一个整数是 2^53 + 1，这完全在声明的 -2^54..2^54 范围内。这可能是一个错字，因为可以表示 -2^53..2^53（含）范围内的所有整数。从 2^53 开始，只能表示 2 的倍数（因此 2^53 + 2 可以，但 2^53 + 1 不行）。由于 JavaScript 使用这种形式的 double，因此很容易看到它的实际效果：

const x = 2**53;
const y = x + 1;
console.log(x.toLocaleString()); // 9,007,199,254,740,992
console.log(y.toLocaleString()); // 9,007,199,254,740,992 -- the same
console.log(x === y);            // true
const z = x + 2;
console.log(z.toLocaleString()); // 9,007,199,254,740,994

对于双精度数，2^53 - 1 是最后一个所谓的“安全”整数，其中“安全”被定义为“你可以向它加 1 并得到下一个整数”。 （事实上，JavaScript 甚至有一个值 2^53 - 1 的常量：

Number.MAX_SAFE_INTEGER

。）加 1 时得到的下一个整数（当然）是 2^53 - 第一个整数，格式为无法再处理每个不同的整数。从 2^53 开始，double 只能以 2 为单位进行计数：2^53, 2^53 + 2, 2^53 + 4, ... 也就是说，此时它只能存储 2 的倍数。（然后后来，它只能按四数[4的倍数]，然后只能按八[8的倍数]，等等）

为了完整性：该格式可以（准确地）表示很多更大的整数，只是在这个数量级上，它不能表示全部，因为该格式使用基值（尾数）和指数，并且当达到 2^53 时，指数只能表示偶数（2 的倍数）。之后指数再次翻转，只能表示 4 的倍数，等等

让我们想象一下这一点。 IEEE-754 相当复杂，但为了解释目的，我们举一个简化的例子（不是 IEEE-754）。假设我们有四位来存储指数，八位来存储尾数，并且假设我们只存储整数。这意味着指数 = 1 时，我们可以存储 0 到 255 之间的值：

概念性，*不是* IEEE-754！

指数（二进制） 尾数（二进制） 结果值（十进制）
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 2
...
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 254
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 255

我们的尾数已达到极限，因此我们通过使用指数 = 2 并使尾数为 2 的倍数来牺牲范围的精度。现在我们只能以两位数来计数：

概念性，*不是* IEEE-754！

指数（二进制） 尾数（二进制） 结果值（十进制）
0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2
0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 4
...
0 0 0 2 0 1 1 1 1 1 1 1 254
0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 256
0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 1 258
...
0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 0 508
0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 510

请注意，我们可以精确地表示值 256，即使它超出了尾数本身可以处理的范围 (0-255)，因为使用指数，我们采用尾数值 (128) 并将其加倍得到 256。这正是双精度数中的 2^53 所发生的情况。但我们无法表示 257，因为在这个量级上我们只能处理 2 的倍数。这就是双精度数中的 2^53 + 1 所发生的情况，我们无法表示它。不过我们可以表示 2^53 + 2。

Answer 2

以 IEEE-754 双精度格式表示的最大安全整数为 2^53 - 1。如果您尝试存储大于此值，则不再安全。虽然可以存储更大的整数，但如果您想确保它保持安全，我建议不要这样做，因为它们在 2^53 - 1 以上会变得不精确。编辑：正如 Eric 的评论所解释的，这些值本身仍然是精确的，但是做算术时是四舍五入的时候。