如何求解表达式关于D的导数？

Question

积分为

其中变量遵循以下分布：

因此，积分变为：

现在，我在python中的代码是将表达式与

\(W_{1:3}\)

分别为

\(1,2,3\)

、

\(r_1 = 0\)

、

\(v\)

进行积分，即方差为

\(1\)

，时间常数

\(tau\)

为

\(1\)

，我想估计导数的根以找到

\(D\)

如下：

import sympy as sp
import math

w_n = [0,1,2]
r_1 = sp.Symbol("r_1")
r_2 = sp.Symbol("r_2")
r_3 = sp.Symbol("r_3")
r_n = [0, r_2,r_3]
D = sp.Symbol("D")
v = sp.Symbol("v")
t = sp.Symbol("t")

def expo_power(i=0,t=t,D=D,v=v):
    return ((((w_n[i] - r_n[i]) ** 2)/(2 * v)) + (((r_n[i] - r_n[i-1]) ** 2)/(4 * D * t)))

def expo_power_sum(lower_bound = 2, upper_bound=3,t=t,D=D,v=v):
    f = 0
    for i in range(lower_bound,upper_bound):
        f += expo_power(i-1,t=t,D=D,v=v)
    return f

def P_w_n_P_r_n(i=0,v=v,D=D,t=t):  
    return (1/(8 * (sp.pi ** 2) * D * t * v)) \
        * sp.exp(-expo_power_sum(lower_bound=2,upper_bound=3,t=t,D=D,v=v)) 

def P_w_i_r_i(i = 0, v=v):
    return (1/(sp.sqrt(2 * sp.pi * v))) \
        * sp.exp(-((w_n[i] - r_n[i]) ** 2/(2 * v)))

def normal_dist(x =0, m = r_n[0], v =v):
    return (1/(sp.sqrt(2 * sp.pi * v))) \
        * sp.exp(-(((x - m) ** 2)/(2 * v)))

def integrand(v = v,t=t,lower = 2):
    f = P_w_n_P_r_n(i=lower,v=v,D=D,t=t)
    sp.pprint(f) 
    f = f * P_w_i_r_i(v=v)
    f = f * normal_dist(x=r_n[0],v=v)
    return f

def integrate(v=v,t=t, lower_bound = -sp.oo, upper_bound= sp.oo):
    function = integrand(v=v,t=t)
    integral_1 = sp.integrate(function, (r_1, lower_bound, upper_bound)).evalf()
    sp.pprint(integral_1)
    integral_2 = sp.integrate(integral_1, (r_3, lower_bound, upper_bound)).evalf()
    sp.pprint(integral_2)
    integral_3 = sp.integrate(integral_2, (r_2, lower_bound, upper_bound)).evalf()
    num = sp.N(integral_3)
    print(num)
    #sp.pprint(integral_3)
    deriv = sp.diff(num, D)
    sol = sp.solve(deriv, D)
    sp.pprint(sol)
integrate(v=1,t=1,lower_bound=-1000,upper_bound=1000)

现在，显示的解是两个未计算积分之间的比率。

请注意 python 代码中的

t

是 (tau)，我们在边缘化 (r_1,r_2,r_3) 后找到关于 (D) 的导数的根，积分没有被计算，特别是对于 ( r_2)

积分有闭形式吗？如果是的话，可以求解 $D$ 形式的导数吗？如果不是，有什么替代方案可以产生 $P'(w_{1:3}|D,v) = 0$ 相对于 $D$ 的解决方案？

Answer 1

我无法完全说出发生了什么，但问题的表述方式似乎有些问题，我认为你需要在寻求解决方案之前理顺问题陈述。

如果我没记错的话，所有涉及的分布都是正态分布，并且您对其中一些分布进行了边缘化（积分）。如果是这样，结果应该再次是正态分布（如果仍然存在一些自由变量）或涉及均值和方差的某个常数。我的猜测是，如果您将联合分布表述为具有合适协方差矩阵的多元正态分布，您将能够根据协方差运算来陈述结果。

但即使没有这个，如果问题设置正确，也应该可以得到 D、v 和 t 的精确结果。

我看到的第一个问题是被积数（函数中的

function

integrate

）只是

r_2

的函数。它也应该是

r_1

和

r_3

的函数，不是吗？

不应该将

r_n

分配给

[r_1, r_2, r_3]

而不是

[0, r_2, r_3]

吗？

function

不含

r_3

表明

expo_power_sum

无法正常工作。

最后，我的建议是在表述积分时使用符号无穷大（正/负

sp.oo

）而不是正/负 1000——替换任何有限值可能会使结果比需要的更复杂。