求解热方程

Question

我求解金属棒的热方程，其中一端保持在 100 °C，另一端保持在 0 °C，如下

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

dt = 0.0005
dy = 0.0005
k = 10**(-4)
y_max = 0.04
t_max = 1
T0 = 100

def FTCS(dt,dy,t_max,y_max,k,T0):
    s = k*dt/dy**2
    y = np.arange(0,y_max+dy,dy) 
    t = np.arange(0,t_max+dt,dt)
    r = len(t)
    c = len(y)
    T = np.zeros([r,c])
    T[:,0] = T0
    for n in range(0,r-1):
        for j in range(1,c-1):
            T[n+1,j] = T[n,j] + s*(T[n,j-1] - 2*T[n,j] + T[n,j+1]) 
    return y,T,r,s

y,T,r,s = FTCS(dt,dy,t_max,y_max,k,T0)

plot_times = np.arange(0.01,1.0,0.01)
for t in plot_times:
    plt.plot(y,T[t/dt,:])

如果将诺伊曼边界条件更改为一端绝缘（不是磁通），

那么，怎么计算呢

T[n+1,j] = T[n,j] + s*(T[n,j-1] - 2*T[n,j] + T[n,j+1])

应该修改吗？

Answer 1

诺伊曼边界条件的一种典型方法是想象一个超出域一步的“鬼点”，并使用边界条件计算它的值；然后对网格内的点（包括诺伊曼边界）正常进行（使用偏微分方程）。

鬼点允许我们对边界处的导数使用对称有限差分近似，即如果 y 是空间变量，则为

(T[n, j+1] - T[n, j-1]) / (2*dy)

。非对称近似

(T[n, j] - T[n, j-1]) / dy

不涉及鬼点，其精确度要低得多：它引入的误差比偏微分方程本身离散化所涉及的误差要差一个数量级。

因此，当 j 是 T 的最大可能索引时，边界条件表示“

T[n, j+1]

”应理解为

T[n, j-1]

，这就是下面所做的。

for j in range(1, c-1):
    T[n+1,j] = T[n,j] + s*(T[n,j-1] - 2*T[n,j] + T[n,j+1])  # as before
j = c-1 
T[n+1, j] = T[n,j] + s*(T[n,j-1] - 2*T[n,j] + T[n,j-1])  # note the last term here