傅立叶级数数据与numpy拟合：fft与编码

Question

假设我有一些数据，我想要拟合傅立叶级数。在这个post上，Mermoz使用该系列的复杂格式和“用黎曼和计算系数”发布了一个解决方案。在另一个post上，通过FFT获得该系列，并记下一个例子。

我尝试实现这两种方法（下面的图像和代码 - 每次运行代码时注意，由于使用numpy.random.normal会产生不同的数据）但我想知道为什么我会得到不同的结果 - Riemann方法似乎“错误地”当FFT方法似乎“被挤压”时，“转移”。我也不确定我对该系列节目“tau”的定义。我很感激你的关注。

我在Windows 7上使用Spyder和Python 3.7.1

Example

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Assume x (independent variable) and y are the data.
# Arbitrary numerical values for question purposes:
start = 0
stop = 4
mean = 1
sigma = 2
N = 200
terms = 30 # number of terms for the Fourier series

x = np.linspace(start,stop,N,endpoint=True) 
y = np.random.normal(mean, sigma, len(x))

# Fourier series
tau = (max(x)-min(x)) # assume that signal length = 1 period (tau)

# From ref 1
def cn(n):
    c = y*np.exp(-1j*2*n*np.pi*x/tau)
    return c.sum()/c.size
def f(x, Nh):
    f = np.array([2*cn(i)*np.exp(1j*2*i*np.pi*x/tau) for i in range(1,Nh+1)])
    return f.sum()
y_Fourier_1 = np.array([f(t,terms).real for t in x])

# From ref 2
Y = np.fft.fft(y)
np.put(Y, range(terms+1, len(y)), 0.0) # zero-ing coefficients above "terms"
y_Fourier_2 = np.fft.ifft(Y)

# Visualization
f, ax = plt.subplots()
ax.plot(x,y, color='lightblue', label = 'artificial data')
ax.plot(x, y_Fourier_1, label = ("'Riemann' series fit (%d terms)" % terms))
ax.plot(x,y_Fourier_2, label = ("'FFT' series fit (%d terms)" % terms))
ax.grid(True, color='dimgray', linestyle='--', linewidth=0.5)
ax.set_axisbelow(True)
ax.set_ylabel('y')
ax.set_xlabel('x')
ax.legend()

Answer 1

执行两次小的修改就足以使总和几乎与np.fft的输出相似。 The FFTW library indeed computes these sums。

1）信号的平均值c[0]应计入：

f = np.array([2*cn(i)*np.exp(1j*2*i*np.pi*x/tau) for i in range(0,Nh+1)]) # here : 0, not 1

2）必须缩放输出。

y_Fourier_1=y_Fourier_1*0.5

输出似乎被“挤压”，因为高频成分已被过滤。实际上，输入的高频振荡已被清除，输出看起来像移动平均线。

这里，tau实际上被定义为stop-start：它对应于框架的长度。这是信号的预期时期。

如果帧不对应于信号的周期，则可以通过将信号与自身进行卷积并找到第一个最大值来猜测其周期。请参阅Find period of a signal out of the FFT然而，它不太可能与numpy.random.normal生成的数据集一起正常工作：这是一个Additive White Gaussian Noise。由于它具有恒定的功率谱密度，因此很难被描述为周期性的！