在三个维度上两个单位矢量之间的找角

Question

我正在尝试进行一些基本的3D模拟，但是距我在高中学习这些东西已有20年了...

如果我在三个维度上有两个向量，如何找到它们之间的夹角。例如，我有一个向量（3,2,1），另一个向量（4，-5,6），我将如何找到它们之间的角度（以度或弧度为单位）。如果我记得有一些公式可以做到这一点。

谢谢。

Answer 1

这可以解决问题：

atan2(sqrt(dot(cross(a, b), cross(a, b))), dot(a, b))

作为python lambda函数：

import math, numpy

angle = lambda a, b: math.atan2(
    math.sqrt(
        numpy.dot(*([numpy.cross(a, b)]*2))
    ), 
    numpy.dot(a, b)
)

结果以弧度为单位：

In : angle([1.,1.,1.], [-1.,1.,1.])
Out: 1.2309594173407747

In : angle([0.,1.,0.], [0.,0.,1.])
Out: 1.5707963267948966

同样适用于二维：

In : angle([0.,1.], [1.,0.])
Out: 1.5707963267948966

In : angle([0.,1.], [1.,1.])
Out: 0.7853981633974483