如何检查一个点是否在椭球体内且有方向？

Question

对于以下形式的椭球

以方向向量 为中心，以点 为中心，如何判断点 是否在椭球体内？

附加说明，几何形状实际上是 a=b（椭球体），因此一个轴足以定义方向

注意：我在论坛中看到了类似的问题。但是，它是关于原点处的椭球体并且没有任何任意方向，并且这里同时考虑任意位置和方向。

Answer 1

找到仿射变换 M，将这个椭圆平移到轴定向的椭圆上（通过 -p 平移并旋转以对齐方向向量 r 和适当的坐标轴）。
然后将此变换应用于点 p 并检查 p' 是否位于轴导向椭球体内，即

x^2/a^2+ y^2/b^2+z^2/c^2 <= 1

Answer 2

创建一个坐标系

E

，中心位于

p

，椭圆的长轴与

r

对齐。创建一个可以将全局坐标转换到坐标系

E

的矩阵。然后将变换后的坐标代入椭圆方程。

Answer 3

中心点p和“方向向量”r不足以完全指定椭球体的位置，还剩下一个自由度。你的问题是不确定的。

Answer 4

如果向量 r 是从原点到极点的单位向量，则测试点 q 是否在椭圆内（或椭圆上）为：

v = q-p;  // 3d vector difference
dot = v.r; // 3d dot product
f = dot*dot;  
g = v.v - f; // 3d dot product and scalar subtraction
return f/(b*b) + g/(a*a) <= 1

请注意，如果椭圆对齐以使 r 为 z 单位向量，则上面的测试将转换为在椭圆中包含点的通常测试。