如何从旋转和位置获得变换矩阵

Question

我想知道如何从旋转和位置矩阵得到变换矩阵

我有一个高斯泼溅训练数据（

cameras.json

）：

{
    "id": 0, 
    "img_name": "_DSC9040", 
    "width": 5025, 
    "height": 3312, 
    "position": [-0.044550560003616964, 1.4236172811064225, 2.92660596573917], 
    "rotation": [
        [-0.9982609640488053, -0.010911420501731176, 0.057930894684822855], 
        [-0.023242959401519592, 0.9759623621223222, -0.2166961756904737], 
        [-0.054173909722383416, -0.21766581868371465, -0.974518742191313]
    ], 
    "fy": 4285.457130435278, 
    "fx": 4328.590804346088
}

我尝试定义：

transform_matrix = [[-0.9982609640488053, -0.010911420501731176, 0.057930894684822855, -0.044550560003616964], 
[-0.023242959401519592, 0.9759623621223222, -0.2166961756904737, 1.4236172811064225], 
[-0.054173909722383416, -0.21766581868371465, -0.974518742191313,  2.92660596573917],
[0.0, 0.0, 0.0, 1.0]]))

但这似乎是错误的。

Answer 1

变换矩阵由旋转矩阵

R

（json 中的“旋转”）和平移向量

t

（json 中的“位置”）组成。当您将它们堆叠在一起时，就像您所做的那样，在一个

[R | t]

4x3 矩阵中，并附加第四行

[0,0,0,1]

，您将得到 4x4 变换矩阵（让我们用

T

表示它）。当这个矩阵乘以齐次向量

h = [x, y, z, 1].T

时，结果是齐次向量

h' = [x', y', z', 1].T

，对应于执行非齐次操作

[x', y', z'].T = R*[x, y, z].T + t

。

现在，这种变换通常有两种可能的含义。它可以是：

(1) 将

camera

坐标中的向量 h 转换为

world

坐标中的向量 h'。

(2)

world

坐标中的向量 h 到

camera

坐标中的向量 h' 的逆变换。

这可能会令人困惑，因此某些文本（和代码）实际上明确地写了

T_c2w

或

T_w2c

（对应于上面的 1 和 2）。 不管怎样，从你的 t 向量的命名“位置”来看，我怀疑它是相机在世界上的位置。这意味着您的转换可能对应于上面的选项 (1)。为什么？一个简单的经验法则是查看对原始向量

[0, 0, 0, 1].T

应用变换的效果（即将其乘以变换矩阵）。这会重建“位置”向量，因此如果“位置”确实表示相机在世界中的位置，那么您可以将相机的原点放在 camera 坐标中，并将其转换为 world 坐标（因此为 (1)）。

我怀疑你感兴趣的是（2）。为了从矩阵

T

中获得与 (2) 相对应的变换矩阵，您可以将其反转（例如，使用 python 的

numpy.linalg.inv(T)

）或使用显式公式

T_inv = [[R.T | -R.T*t], [0,0,0,1]]

（例如，请参阅此处了解此公式）。