如何用4个变量制作非线性回归方程？

Question

如果仅使用X和y，则可以写y = mx + c方程进行线性回归。

但是现在我还有另外两个变量。所以现在我有4个变量。

让我们以“ x，y，z，w”作为我的4个变量。如何写方程式？如果使用线性回归，则可以使用y = mx + c公式。但只会代表x和y。但我想将所有x，y，z和w都合并到一个公式中。

等式是什么？

Answer 1

这里有几件事需要清除：

1. 使用单个预测变量（“独立变量”）的线性回归有时称为simple linear regression。

   但是，公式“ $ y = mx + c $”不能正确描述$ y $和$ x $之间的关系；可能没有y值位于$ mx + c $行上，因此我们需要其他说明值之间的关系。

   我们可能会写$ y = mx + c + \ epsilon $（通常使用$ \ epsilon $为零均值误差项）来描述$ y $与$ x $数据，或者我们可以放$ E（Y | x）= mx + c $，其中$ Y $是我们在< [$ x $和$ E $是它的期望。在这两种情况下，$ m $和$ c $不是我们估计的斜率和截距，而是估计的数量。

线性回归中的

2. linear通常是指参数中的线性，其中“线性”是指其在linear algebra中的含义，而不是在（例如）演算或线性多项式中。

3. 如果您想将简单的线性回归扩展到多个预测变量，同时又保持线性（在线性代数意义上），那么您将得到multiple linear regression，我们可以写为

   $ y = \ beta_0 + \ beta_1 x_1 + \ beta_2 x_2 + \ beta_3 x_3 + ... + \ beta_p x_p + \ epsilon $

（我们通常出于几个原因对系数和预测变量进行编号-一个是为了使我们不会很快用完字母），其中$ \ epsilon $再次是错误项。通常以矩阵形式将其写为$ y = X \ beta + \ epsilon $。 就您的响应和三个预测变量而言，您可以编写

$ y = c + m_xx + m_ww + m_zz + \ epsilon $

（回到您的表示法，但根据需要对其进行扩展）。具有两个预测变量，拟合关系

$ \ hat {y} = \ hat {\ beta} _0 + \ hat {\ beta} _1x_1 + \ hat {\ beta} _2x_2 + e $

是一个平面，且更多的预测变量最终会产生相关维数的超平面。在我们通常在统计中使用术语的意义上，这都是“线性回归”。
4. 但是您可以通过其他方式扩展简单回归，例如构造具有非线性成分的关系（这样实际上将适合您的标题），例如

   $ y = \ beta_0 + \ beta_1x + g_1（w ）+ g_2（z）+ \ epsilon $

（我们称为additive model），或更通用的非线性函数$ y = g（x，w，z）+ \ epsilon $ ，通常称为“非线性回归”。 在第3点的链接中提到了许多其他扩展（尽管不是很详尽的列表）。>>

我们网站上的许多帖子都讨论了多元回归。尝试标记multiple-regression

Answer 2

通常，您只需添加更多线性项。在这种情况下，假设您正在预测y，则等式为y = ax + bz + cw + d