从其向量与轴及其长度成的角度获取3D空间中点的坐标

Question

我有一个向量的大小，该向量指向从原点（0x，0y，0z）到3D空间中的某个地方。我还有一个向量在X和Z轴上的投影在自身和Y轴之间的夹角。换句话说，我有一个操纵杆，用于左右移动时读取X角度（从-35到35度），前后移动时读取Z角度（从-35到35度）。当操纵杆处于其初始位置时，它将返回0。我得到了幅度的读数（琴弦从操纵杆中拉出了多远）。我需要找到字符串末尾的点的坐标（假设1 cm的大小等于一个单位矢量）。点将始终位于x-z轴平面上方。幅度永远不会为0。

我很欣赏Java上的一种算法或一段代码，即使链接到其他材料也很好。问与答谈论旋转角度和矩阵，但看来我有一个不同的问题。

UPD：角度不在向量和x，y，z轴之间。它们是向量在轴上的投影与Y轴所成的角度。

UPD1：操纵杆可左右左右移动：

    +z
     |            
-x -- -- +x       -x --'-- +x
     |
    -z
Top view          Side view (along z-axis)

以及在中间有可扩展的字符串：

    +z                +s (+y)
     |                 |
-x -- -- +x       -x --'-- +x
     |
    -z
Top view          Side view (along z-axis)

当字符串扩展时，形成3D点（P）

    +z               +y                 +y
     | P              |  P               |  P
     |/               | /                | /
-x --/-- +x           |/                 |/
     |           -x --'-- +x        -z --'-- +z
    -z
Top view          Side view          Side view
               (along z-axis)      (along x-axis)

我以以下格式接收坐标：

- x-axis angle (call it alpha) [-1 1] in reality between [-35 and 35] degrees
- y-axis angle (call it theta) [-1 1] in reality between [-35 and 35] degrees
- magnitude of vector OP (call it magnitude) [-1 1] in reality between 0[ and 305] cm

Answer 1

更多信息here。

编辑：

进一步检查该问题后，我发现该问题更为奇怪。您在y轴上有两个分量矢量（0，y，z）和（x，y，0）的投影，它们描述了俯仰和横滚。我确定操纵杆为偏航提供了另一个组件，但是未在OP中指定。奇怪的是，这些分量实际上不可能是（x，y，z）向量的向量分量，因为那时y投影将是相同的。我

认为 OP寻找的是由这些给定的组成点和原点创建的新平面的法线。为此，必须给我给出投影所源自的矢量的大小。由于未指定，因此我

假定是单位向量。

Vector xPrime=Vector(sqrt(1-xProj^2),xProj,0);
Vector zPrime=Vector(0,y,sqrt(1-zProj^2));
Vector ans=cross(zPrime,xPrime);

cross product的公式。根据OP中的符号约定，答案可能需要排除某些成分。

Answer 2

Y轴与向量在X轴上的投影之间的夹角为“α”，Y轴与向量在Z轴上的投影之间的夹角为“θ”。x轴上的线（投影）具有一个方程：

y = (1/tan(alpha) * x) + (0 * z)

线（z轴上的投影具有等式：

y = (0 * x) + (1/tan(theta) * z)

因此，我们可以重新排列它们以获得以下等式：

x = (z * tan(alpha)) / tan(theta)
z = (x * tan(theta)) / tan(alpha)

如果我们替换所有未知数，但向量的大小方程中只有一个：

|v| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

我们得到一个可以根据x重新排列的方程：

         /   magnitude^2 + tan^2(alpha)    \
x = sqrt |---------------------------------|
         \ tan^2(alpha) + tan^2(theta) + 1 /

漂亮的方程式：

http://latex.codecogs.com/gif.latex？\ sqrt {} \ frac {\ left％20 | vector \ right％20 | ^ 2％20 +％20tan ^ 2％28xy％29} {tan ^ 2％28xy％29％20 +％ 20tan ^ 2％28zy％29％20 +％201}
（（复制-粘贴链接）]
然后我们可以替换先前方程式中的x以获得z和y。

Answer 3

假设：

OK = LT' = x [unknown]
OL = T'K = y [unknown]
OT = 1 [unit vector]
^TKT' = ^a
^TLT' = ^b

我们找出

x和
y之间的关系：
y = x * (tan(b) / tan(a))

以OT为单位向量，

x

可以通过以下方式找到：

x = sqrt{ tan^2(a) * cos^2(b) / (tan^2(a) + sin^2(b)) }
y = 1 / sqrt{ tan^2(a) / sin^2(b) + 1 }

和

z

（TT'）是：

z = x * tan(b)