为什么特征值分解的TensorFlow和PyTorch梯度互不相同，并且解析解又不同？

Question

下面的代码计算实对称矩阵的特征值分解。然后，计算第一特征值相对于矩阵的梯度。这完成了三遍：1）使用解析公式，2）使用TensorFlow，3）使用PyTorch。这产生了三个不同的结果。有人可以向我解释这种行为吗？

import numpy as np
import torch
import tensorflow as tf


np.set_printoptions(precision=3)
np.random.seed(123)

# random matrix
matrix_np = np.random.randn(4, 4)
# make symmetric
matrix_np = matrix_np + matrix_np.T
matrix_torch = torch.autograd.Variable(torch.from_numpy(matrix_np), requires_grad=True)
matrix_tf = tf.constant(matrix_np, dtype=tf.float64)

#
# compute eigenvalue decompositions
#
# NumPy
eigvals_np, eigvecs_np = np.linalg.eigh(matrix_np)
# PyTorch
eigvals_torch, eigvecs_torch = torch.symeig(matrix_torch, eigenvectors=True, upper=True)
# TensorFlow
eigvals_tf, eigvecs_tf = tf.linalg.eigh(matrix_tf)

# make sure all three versions computed the same eigenvalues
if not np.allclose(eigvals_np, eigvals_torch.data.numpy()):
    print('NumPy and PyTorch have different eigenvalues')
if not np.allclose(eigvals_np, tf.keras.backend.eval(eigvals_tf)):
    print('NumPy and TensorFlow have different eigenvalues')

#
# compute derivative of first eigenvalue with respect to the matrix
#
# analytic gradient, see "On differentiating eigenvalues and eigenvectors" by Jan R. Magnus
grad_analytic = np.outer(eigvecs_np[:, 0], eigvecs_np[:, 0])
# PyTorch gradient
eigvals_torch[0].backward()
grad_torch = matrix_torch.grad.numpy()
# TensorFlow gradient
grad_tf = tf.gradients(eigvals_tf[0], matrix_tf)[0]
grad_tf = tf.keras.backend.eval(grad_tf)

#
# print all derivatives
#
print('-'*6, 'analytic gradient', '-'*6)
print(grad_analytic)
print('-'*6, 'Pytorch gradient', '-'*6)
print(grad_torch)
print('-'*6, 'TensorFlow gradient', '-'*6)
print(grad_tf)

打印

------ analytic gradient ------
[[ 0.312 -0.204 -0.398 -0.12 ]
 [-0.204  0.133  0.26   0.079]
 [-0.398  0.26   0.509  0.154]
 [-0.12   0.079  0.154  0.046]]
------ Pytorch gradient ------
[[ 0.312 -0.407 -0.797 -0.241]
 [ 0.     0.133  0.52   0.157]
 [ 0.     0.     0.509  0.308]
 [ 0.     0.     0.     0.046]]
------ TensorFlow gradient ------
[[ 0.312  0.     0.     0.   ]
 [-0.407  0.133  0.     0.   ]
 [-0.797  0.52   0.509  0.   ]
 [-0.241  0.157  0.308  0.046]]

三个结果的主要对角线是相同的。 TensorFlow和PyTorch的非对角元素是分析元素的两倍或等于零。

这是预期的行为吗？为什么没有记录？渐变不正确吗？

版本信息：TensorFlow 1.14.0，PyTorch 1.0.1

Answer 1

如上面的注释很好地向我们展示了，我们可以看到here这是一个错误。