具有给定特征值和特征向量的随机正半定矩阵

Question

有没有办法在Python中生成具有给定特征值和特征向量的随机正半定矩阵？

我查看了this，但他们不允许指定矩阵构造的特征值。

上下文：我想生成具有受控椭圆率的随机多元高斯，并且因为分布的长轴/短轴的长度与特征值成比例，所以我希望我的协方差矩阵具有它们。 可以在此处找到定义（第 81 页）。

Answer 1

当您没有特征向量但只想要一些特征值时，您可以列出所需的特征值并使用正交矩阵将它们混合起来。由于同余变换不会改变矩阵的惯性（直到数值精度），因此您可以使用随机矩阵的 QR 分解的 Q 矩阵（或生成正交矩阵的任何其他方式）。

import numpy as np
import scipy.linalg as la
des = [1, 0, 3, 4, -2, 0, 0]
n = len(des)
s = np.diag(des)
q, _ = la.qr(np.random.rand(n, n))
semidef = q.T @ s @ q
np.linalg.eigvalsh(semidef)

给予

array([-2.00000000e+00, -2.99629568e-16, -5.50063275e-18,  2.16993906e-16,
        1.00000000e+00,  3.00000000e+00,  4.00000000e+00])

当您实际上也有特征向量时，那么您可以简单地构造原始矩阵，这就是特征值分解的定义。

Answer 2

这个函数：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/ generated/scipy.stats.random_correlation.html 为给定的特征值生成一个相关矩阵（对角线上有一个的对称正半定矩阵）。