recursion 相关问题

递归是一种函数调用，函数调用自身。这些函数也称为递归函数。结构递归是一种解决问题的方法，其中问题的解决方案取决于对同一问题的较小实例的解决方案。

我正在尝试编写一个返回第 n 个勒让德多项式的系数的函数。 // 存储以前的多项式以使递归过程更快无序_地图我正在尝试编写一个返回第 n 个勒让德多项式的系数的函数。 // store previous polynomials to make the recursive process faster unordered_map<int, vector<double>> legendre_cache; // Recursive function to compute the coefficients of the nth Legendre polynomial vector<double> legendre_polynomial(int n) { // uses Bonnet's recursion formula P_{n+1} = ( (2n+1) x P_n - n P_{n-1} )/(n+1) // Check if the result is already in the cache if (legendre_cache.find(n) != legendre_cache.end()) { return legendre_cache[n]; } // Base cases if (n == 0) { return { 1.0 }; // P0(x) = 1 } if (n == 1) { return { 1.0, 0.0 }; // P1(x) = x } // Get coefficients for P_(n-1) and P_(n-2) vector<double> Pn_minus_1 = legendre_polynomial(n - 1); vector<double> Pn_minus_2 = legendre_polynomial(n - 2); // Get the sizes of the vectors to n+1 Pn_minus_1.push_back(0.0); // P_{n-1} gets multiplied by x Pn_minus_2.insert(Pn_minus_2.begin(), 0.0); // P_{n-2} needs two leading digits Pn_minus_2.insert(Pn_minus_2.begin(), 0.0); // Calculate coefficients for P_n vector<double> Pn(n + 1, 0.0); // Initialize Pn with n+1 zeros // Using the recurrence relation to fill coefficients for (int k = 0; k <= n; k++) { Pn[k] += ((2 * n - 1) * Pn_minus_1[k] - (n - 1) * Pn_minus_2[k]) / n; } // Store the result in the cache before returning legendre_cache[n] = Pn; return Pn; } 该算法有效，因为我将其结果与 n = 10 以内的其他来源进行了比较。然而，这个函数很快就会变得不准确，而且它的递归性质并没有给它带来好处：在这里，我评估我的多项式并将其与“boost/math”库中的类似函数进行比较： int main() { cout << fixed << setprecision(15); // Example inputs int n = 48; double x = 0.9; cout << "Result of my function:" << endl; vector<double> coeffs = legendre_polynomial(n); double result = 0; int l = coeffs.size(); for (int i = l - 1; i >= 0; i--) { result += coeffs[l - i - 1] * pow(x, i); } cout << result << endl; cout << "Result of boost library:" << endl; cout << boost::math::legendre_p(n, x) << endl; return 0; } n 越大，我的函数就越不准确，直到 n = 45 左右时完全崩溃：测试代码的输出： Result of my function: 0.151876441197771 Result of boost library: -0.106892037065314 我从 boost 网站知道 boost 函数使用与我相同的递归方法。因此，假设他们的功能有效，那么也应该可以改进我的功能。感谢您的帮助。编辑1：需要明确的是，我评估多项式只是为了证明我的系数是错误的；我主要需要多项式的系数（勒让德高斯求积）。据我了解库中的函数，我认为那里从未提到过系数；递归公式仅应用于特定的 x 值。坦率地说，我还没有达到重写代码来提取系数的水平。编辑2：我所说的“该算法是有效的，因为我将它的结果与其他来源的结果进行了比较，最多为n = 10”，我怀疑如果没有准确性错误，该函数将会起作用。我认为由于舍入、除法、浮点导致的错误会因为递归而像滚雪球一样不断增加，直到函数变得不可用。（我的问题是如何处理这个问题）我认为您无法像您一样计算勒让德多项式在给定点的值，即直接使用多项式的系数。事实上，您将面临数值错误，因为当多项式的阶数很大时，double无法处理x与“巨大”系数的乘法。相反，您可以直接依赖这些多项式的三项递推关系来计算给定点的值： #include <iostream> #include <iomanip> #include <boost/math/special_functions/legendre.hpp> int main(int argc, char* argv[]) { std::cout << std::fixed << std::setprecision(15); int n = argc>=2 ? atoi(argv[1]) : 48; double x = 0.9; double p0=1; double p1=x; for (size_t k=1; k<n; k++) { double tmp = ( (2*k+1)*x*p1 - k*p0) / (k+1); p0=p1; p1=tmp; } std::cout << "Result of my function:" << std::endl; std::cout << p1 << std::endl; std::cout << "Result of boost library:" << std::endl; std::cout << boost::math::legendre_p(n, x) << std::endl; return 0; } 可能的输出： Result of my function: -0.106892037065314 Result of boost library: -0.106892037065314

c++ recursion boost floating-accuracy polynomials

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